数学に詳しい方、お願いします！

質問

確率の問題です。
期待値のところで壁にぶつかっています。

２つのチームが試合をして、先に四勝した方が優勝、とする場合に、
優勝決定戦を観るには何試合目のチケットを買えばよいか、という問題です。

反復試行を利用して計算すると６試合目と７試合目が優勝決定戦となるのが、
同じ確率で一番高くなりました。
（５C３×１／２＾６×２＝５／１６　と、６C３×１／２＾７×２＝５／１６）

しかし全試合の期待値を計算すると、５．８くらいになるので、
６試合目を買うのがよいことになってしまいます。

どちらの考え方が正しいのでしょうか？

期待値というのは何回も試行をした場合に期待される値だから
やっぱり一回見に行くときにチケットを買うのは、６試合目・７試合目の
どっちでもいいんじゃないか、とも思います。

ここ最近ずっと悩んでいます。どうかよろしくお願いします。.

回答No.4

sanori · ベストアンサー

何戦目に胴上げが見られるかという確率ですから、期待値はまったく関係ありません。
単純な例を挙げてみましょうか。
特殊なサイコロがあって、１、２、５、６の目が出る確率がそれぞれ２５％、３、４の目が出る確率は０％です。
つまり、サイコロの目の期待値は、３．５です。
さあ、あなたはこのサイコロ賭博で、３や４の目に１億円賭けますか？

あと、Ｎｏ．２様へのコメントについてですが、
この確率計算は、もともと、６試合目で決着がつかなければ７試合目で決着がつくという計算なのですから、「６試合目の影響」というのは最初から計算に入っていますよ。
羽田から関空へ飛行機で来た人に「羽田で乗りましたか」と念押しをしているようなものです。
念押しをしても計算結果は変わりません。

回答No.3

sanori

Ｎｏ．１の回答者ですが、
念押しですけど、第6戦と第7戦が同じ確率になるのは、両者の勝つ確率がまったく偏りがない、つまり正確に１／２の場合だけであって、少しでも偏りがあると第7戦が最適になることはありません。

補足

答えてくださってありがとうございます！
数学の問題ですので、確実に１／２です。
実は学校でこの問題を出されて、第６戦、第７戦で等しい、と思ったんですが、
周りに期待値で考えると６試合目のほうがいいんだ、という人がいて混乱
しています。。。期待値は関係ないですか？

回答No.2

Ishiwara

「決勝戦を見たい」というのであれば、第６戦、第７戦の切符を買うのが賢明で、確率としてはどちらも同じです。
その意味で、あなたの計算は、完全に正しいです。
ところが「全試合の期待値」という言葉が出てから急にヘンになりました。実は、ここで期待値が正確に定義されていないのです。
もし球場所有者が、大会主催者から１日あたりいくらという使用料を頂戴できるなら、その料金がどのくらい「期待できる」か、が大きな関心事です。しかし、あなたにとっては、観戦した試合が最終戦であるかどうかが関心事であって、それが第何回戦だったかではないはずです。そこで「関心のない事項を期待値計算の根拠」としてはいけないことが分かります。
「最終戦を見ることができたときの嬉しさをＡ円」「できなかったときの悔しさをＢ円」というような評価尺度を定め、その期待値を計算して、自分の行動（どの切符を買うか）に反映させるなら、正しい期待値の使い方と言えます。

補足

早速答えてくださってありがとうございます！
ということは、優勝試合が見れる確率は６，７試合目で同じということですね。
６戦目で勝負がついたときのことは確率には影響ないのでしょうか？
それも含めての反復試行ととらえてよいですか？
そこのところがいまいち自信持てなくて。。。
あと、身の回りに期待値が５．８だから６試合目がよい、といっている人がい
ますが、まちがいなんでしょうか？

回答No.1

sanori

こんにちは。

同じことを考える人というのはいらっしゃるものですね。
実は、数年前にエクセルみたいなソフトで計算したことがありまして、そのファイルが残っていました。

４勝０敗　３勝０敗＋１勝　３Ｃ３×ｐｐｐ×ｐ　＝　１×ｐ^4・ｑ^0
４勝１敗　３勝１敗＋１勝　４Ｃ３×ｐｐｐｑ×ｐ　＝　４×ｐ^4・ｑ^1
４勝２敗　３勝２敗＋１勝　５Ｃ３×ｐｐｐｑｑ×ｐ　＝　１０×ｐ^4・ｑ^2
４勝３敗　３勝３敗＋１勝　６Ｃ３×ｐｐｐｑｑｑ×ｐ　＝　２０×ｐ^4・ｑ^3
３勝４敗　３勝３敗＋１敗　６Ｃ３×ｐｐｐｑｑｑ×ｑ　＝　２０×ｐ^3・ｑ^4
２勝４敗　２勝３敗＋１敗　５Ｃ２×ｐｐｑｑｑ×ｑ　＝　１０×ｐ^2・ｑ^4
１勝４敗　１勝３敗＋１敗　４Ｃ１×ｐｑｑｑ×ｑ　＝　４×ｐ^1・ｑ^4
０勝４敗　０勝３敗＋１敗　３Ｃ０×ｑｑｑ×ｑ　＝　１×ｐ^0・ｑ^4

両者の勝率（合計は１）を色々変えて計算できます。

まず、両者の勝率が同等の場合、
第4戦が１２．５％、第5戦が２５％、第6戦と第7戦が同じで３１．２５％ずつ。
つまり、第6戦でも第7戦でもよい。

勝率が６：４の場合、
第4戦が１５．６２％、第5戦が２６．８８％、第6戦が２９．９５％、第7戦が２７．６５％
つまり、第6戦。

勝率が７：３の場合、
第4戦が２４．８２％、第5戦が３１．０８％、第6戦が２５．５８％、第7戦が１８．５２％
つまり、第5戦。

勝率が８：２の場合、
第4戦が４１．１２％、第5戦が３３．２８％、第6戦が１７．４１％、第7戦が８．１９％
つまり、第4戦。
よって、勝率９：１、１０：０のときも、当然、第4戦。

以上のことから、優勝の瞬間を見るためには第7戦のチケットを買うのは得策でなさそうです。
（私だったら、なんとなく第6戦のを買います。実力が大差でなければ。）

現実のデータを集計してみるのも面白いかもしれませんね。

日本シリーズ（プロ野球）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA

将棋のタイトル戦七番勝負（名人戦、十段・竜王戦、王将戦）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%86%E6%A3%8B%E3%81%AE%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%AB%E6%88%A6%E7%B5%90%E6%9E%9C%E4%B8%80%E8%A6%A7