熱の物理学 エントロピー

質問

一様な固体を真ん中で２つの部分に分けて考える。左部分と右部分の熱容量をＣとする。この固体について、次の二つの状態を考える。
状態Ｐ：左右ともに温度Ｔ
状態：Ｑ左は温度Ｔ－δＴ、右は温度Ｔ＋δＴ
状態ＰでのエントロピーをＳ(P)、状態ＱでのエントロピーをＳ(Ｑ)とする。

1．次式を計算して2つの状態のエントロピーの差⊿Ｓ＝Ｓ(Ｑ)-Ｓ(P)を求めよ。
⊿Ｓ＝∫p→Q：可逆　ｄ’Ｑ/Ｔ

2.⊿ＳをδＴについてテイラー展開し、δＴについて1次の項δＳが０になることを示せ。又、δＴについて２次の項δ2乗Ｓを求めよ。
3．δ2乗Ｓの正負を答えよ。
4．以上の結果より、ＰとＱのいずれの状態が平衡状態であるかを理由とともに答えよ。

この問題をよろしくお願いします（＞＜）
明日テストなのでとてもピンチです。お願いします。

回答No.1

jamf0421

温度差がない状態からある状態に準静的に移したとします。一方から他方へdqの熱を移した時の温度上昇（下降)はδT=dq/C(δT=-dq/C)です。エントロピー変化は熱をもらった方は
ΔS1=∫dq/T=C∫dT/T=Cln[(T+δT)/T]...(1)
熱を出した方は
ΔS2=∫dq/T=C∫dT/T=Cln[(T-δT)/T]...(2)
です。
よって
S(Q)=S(P)+ΔS1+ΔS2
S(Q)-S(P)=Cln[(T+δT)/T]+Cln[(T-δT)/T]...(3)
あるいは(3)は
S(Q)-S(P)=Cln[(T+δT)(T-δT)/T^2]...(3)'
とも書けます
ここで
(T+δT)/T=1+δT/T...(4)
(T-δT)/T=1-δT/T...(5)
と書けます。そしてδT/Tは微小量と看做せます。ところで
ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4+...
と展開できますから
ln(1±δT/T)=±δT/T-(1/2)(δT/T)^2±(1/3)(δT/T)^3-...(6)
と展開できます。(6)を(3)に代入すると一次の項は消えます。とりあえず2次の項まで書くと
S(Q)-S(P)=-C(δT/T)^2<0...(7)
となります。つまり温度差がでるとエントロピーは下がります。
Pの状態から微小温度δT変化させると必ずエントロピーが減るのでエントロピーは極大になっています。よってここが平衡点です。

お礼

どうもありがとうございました!!!!