気体分子運動論についての問題です。

質問

一辺aの立方体の箱の中に多数（N個）の理想気体分子が入っている。
気体分子の質量をm、X軸方向の平均の速さをVxとする。
分子が箱の壁（YZ面）に完全弾性衝突するとき、以下の問いについて記号で表せ。

(1)壁に衝突して跳ね返るまでの時間を⊿ｔとすると、この⊿t間の平均加速度はいくらか？

(2)跳ね返った後、箱の中を往復してまた壁と衝突するまでの時間はいくらか？

(3)分子が１列に並んで、とぎれることなく壁を押し続けるには少なくとも何個の分子が必要か？

(4)(1)～(3)の検討をもとにN個の気体分子が箱の一つを壁面（YZ面）に及ぼす力を導け。

上記の問題について、答えは分かっているのですが、何故そうなるかが分かりません。
どなたか教えてくれないでしょうか。よろしくお願いします。

答えは下記の通りです。
(1)2Vx/⊿t
(2)2a/Vx
(3)(2a/Vx)/⊿t
(4)N/(2a/Vx*⊿t)×(2m*Vx)⊿t = (N*m*Vx^2)/a

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

「(4)N/(2a/Vx*⊿t)×(2m*Vx)⊿t = (N*m*Vx^2)/a 」
↓
「(4)N/(2a/(Vx*⊿t))×(2m*Vx)/⊿t = (N*m*Vx^2)/a 」

ではないかと。

(1)
速度　Vx　で衝突すると、跳ね返る速度は　-Vx　になる。(完全弾性衝突で、壁は動かないとする)
速度変化　

ΔV=Vx-(-Vx)=2Vx

時間　Δt　の間の速度変化が、(平均)加速度だから、

ΔV/Δt=2Vx/Δt

(2)
箱往復の距離は、一辺　a　だから、往復で　2a
これを速度　Vx　で往復するから、かかる時間　t　は、

t=2a/Vx

(3)
1つがぶつかって跳ね返るまでに時間　Δt　かかり、この分子がつぎに同じ壁にぶつかるまで往復の時間　t　かかるので、この間連続的にぶつかるには、t/Δt　回ぶつかる必要がある。すなわち、t/Δt　個の分子が並んでいればいいから、

t/Δt=(2a/Vx)/Δt=2a/(Vx*Δt)

(4)
力=質量*加速度
です。
よって、1つの分子が壁にぶつかったとき受ける力fは、

f=m*2 Vx/Δt=2mVx/Δt

です。
壁は同じ力の反作用を受けます。

詳しく言うと、(1)の加速度は、はじめに分子が進んでいる方向をx軸の正の方向とすれば、加速度はこの方向とは逆に働いて、分子の速度を逆転するのだから、-2Vx/Δtです。したがって、分子が受ける力は、-2mVx/Δtになる。、壁の受ける力はこの反作用で、2mVx/Δtになるのだろうが、質問の答えではその辺があいまいみたい。

この力は１個の分子がぶつかっている時間Δtの間、壁に及ぼされる力だから、次にぶつかるまでの時間tの間もこの力が及ぼされるためには、(3)の分子の系列が必要です。この分子１系列で壁に2mVx/Δtの力を及ぼし続けるのだから、２系列あればこの２倍です。
したがって、N個の分子がこの系列の何倍になるかの倍数kをこの力にかければ、yz壁全体に及ぼされる力Fが出ることになります。

F=k*f=N/(2a/(Vx*Δt))* 2mVx/Δt=(NmVx^2)/a

実際には、系列としてぶつかるわけではなく、ばらばらにぶつかっているのだが、考え方としては、これでいいでしょう。
それはいいとしても、少し変なところがあるみたいだ。私の勘違いか。Nがx方向に速度成分を持つ分子数ならこれでいいが、箱の中の全体の分子数だと、平均的には、N/3になるのではないかな。

お礼

ありがとうございました。問題の方は私が打ち間違えていたようです；

回答No.2

htms42

ふつうあまり見ないアプローチなので戸惑いました。
＃１様の回答を見て意味が分かりました。

気体分子運動論を初めて勉強する場合の学生であれば戸惑うでしょう。

「分子が１列に並んで途切れることなく壁を押し続ける」というモデルに無理があります。
分子が１列に並んでいるのですから容器の壁の一点に集中して衝突するということになります。２系列あれば２点に集中です。容器の壁の他の部分には衝突は起こりません。
分子の集団に対して統計的な考察を加えるという立場が崩れています。
容器の壁のあちこちにまんべんなく均一に衝突が起こるという立場で圧力を導く方がいいのではないでしょうか。壁の受ける力積は平均的なもので考えています。同じ場所に衝突が起こらなくても壁としての平均では連続的に衝突が起こっているとみなしてもいいのです。
もしこの問題に書かれているように力積ではなくて加速度と力で考えるというのであれば、
「一列に並んで」というのを外してしまえばいいです。
「途切れることなく」は残してもいいです。壁のどこかに絶えずぶつかっているという状態を１つの系列とすることになります。この系列がいくつあるかで壁の受ける力が分かります。
（普通の取り扱いではこの「途切れることなく」という条件も外しています。短い時間の不連続があってもいいのです。時間平均を考えていますから衝突がつながって起こるか途切れているは関係がなくなります。⊿ｔを考えることもありません。
「箱の両側の壁で衝突して往復する」というのは箱が大きいと気になる取り扱いになります。平衡状態であっても場所によって圧力が変わるという場面は起こります。この場合であれば「ある短い時間内に片方の壁で起こる衝突を考える」という立場でないと圧力を求めることができません。

＃１に「Ｎ／３では？」と書かれています。
その場合は全体の個数の１／３がｘ方向に動く、というモデルです。
運動エネルギーはどの方向に動いていても同じだとします。
＜Ｖ^2＞＝＜Ｖｘ^2＞＝＜Ｖｙ^2＞＝＜Ｖｚ^2＞
全運動エネルギー＝Ｎｍ＜Ｖ^2＞＝(Ｎ／３)ｍ＜Ｖｘ^2＞＋(Ｎ／３)ｍ＜Ｖｙ^2＞＋(Ｎ／３)ｍ＜Ｖｚ^2＞

普通は１／３は平均速度の方から出しています。
＜Ｖ^2＞＝＜Ｖｘ^2＞＋＜Ｖｙ^2＞＋＜Ｖｚ^2＞＝３＜Ｖｘ^2＞
この場合は成分の平均が同じであるという立場です。
Ｐ＝(Ｎｍ＜Ｖｘ^2＞)/ｖ＝ｎＭ＜Ｖｘ^2＞／ｖ＝ｎＭ＜Ｖ^2＞／３ｖ
運動エネルギー＝Ｍ＜Ｖ^2＞／２＝３Ｐｖ／２＝３ＲＴ／２
エネルギー等配分則として出てくる式です。

どちらの立場でも＜Ｖ^2＞の表現に直せば同じ式になります。

お礼

分かり易い説明ありがとうございました。