昇華する円柱

質問

早速ですが質問させてください。

現在以下の問題に着手しています。

「半径r(cm),高さh(cm),質量M(kg)の円柱が常温空気中に存在する。
この円柱は空気中に触れている面、すなわち表面から昇華し少しずつ小さくなっていく。
気圧や気温による影響は今回は無視できるとし、昇華する質量は円柱の表面積と時間のみにより、昇華率X(kg/(sec*cm^2))で与えられる。
この円柱がT(sec)後にすべて溶解するとき、その昇華率Xを求めなさい。」

この問題を解いているのですが、どうしても昇華してしまった質量と表面積を結び付けることができず、計算に手こずっています。

表面積はは時間によって変化する関数S(t)として、
昇華してしまった質量をmとすると、
m=∫XS(t)dt

とおけることまでは分かるのですが、
昇華した質量から減った分の体積を求め、それから現在の表面積を計算…
なんとなくはわかるのですが、その後どう立式すればいいかお手上げ状態です。
均等に昇華していくので円柱の形状もある程度予測はできるのですが式に直すとごちゃごちゃで…
もしよろしければどなたかお答えいただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。

回答No.6

osn3673 · ベストアンサー

ANo.4 の支離滅裂な式は ANo.5 で訂正していただきましたが久しぶりに覘いてまだ「受付中」になっていましたので雑談を付記します．

質問では dm = S X dt として X を求めたいと書かれていますが，消滅直前の細い棒の長さ，薄い円盤の半径の計算を考えます（ANo.4 を書いたときの関心はこちら）．
(1) r が大きいとき h - 2 k T = 0 となったときの半径は r - k(h / 2 k) で簡単.
(2) 「昇華は dS の法線方向の深さ k dt で生じる」という仮定は k dS dt が柱状になることを前提としていますが，円柱であれば h が大きくても dt ≪ r - k t として刻みを小さくしながら半径を 0 に近づけていくとよさそうです（e.g. ⊿t = Σ⊿t/2^{n+1} ）．

円柱の場合は比較的考えやすいのは h と r が直交しているからです．そうでない場合も曲面の法線方向に少しずつ削っていけばいいのでしょうが数式は扱いにくそうです．

お礼

大変遅くなってしまってもうしわけありませんでした。
ご回答ありがとうございました。
参考にさせていただきました。

回答No.5

alice_44

物理で攻めるのなら、X=ρk は「自明」でもよいのかもしれない。
円柱の表面が平たい場所での個体の減りかたを考えたら、当然、そうなる。
そうすれば。後は A No.3 の内容だけになり、微積分は無しで答えが出る。

微積分を使って考えることとしては、
A No.2 に書いた、円柱の角の効果を考慮しても
dm/dt が S に比例すると言えるのか？があるかと思う。

先述では間違えたが、正しくは dr/dt=-k, dh/dt=-2k なので、
M-m=ρ(πrr)h を微分して S=(2πr)h+2(πrr) と比較すると、
dm/dt=ρkS が導ける。

この結果は、少々意外だった。
…と言ったら、物理の人には笑われるだろうか。
角が丸くならない仮定の分だけ誤差が出て、
X は厳密には定数にならないだろうと予想していたから。

お礼

大変遅くなってしまってもうしわけありません。
ご回答ありがとうございました！

回答No.4

osn3673

「均等に昇華していくので円柱の形状もある程度予測はできるのですが式に直すとごちゃごちゃで…」

密度をρ，消滅直前の「これから昇華する」質量を ⊿m とすると，⊿m = S X ⊿t だから
(1) 細い棒になって消滅するときは上下の円の面積を無視して
⊿m =ρπ(k ⊿t)^2 (h - k T), S = 2π(k ⊿t) (h - k T) より X = ρk / 2.
(2) 薄い円盤になって消滅するときは円柱の側面の面積を無視して
⊿m = ρπ(r - k T)^2 (k ⊿t), S = 2 π(r - k T)^2 より X = ρk / 2.

ではいけないのでしょうか．

回答No.3

osn3673

ANo.2 でいいと思うのですが，なかなか解決済みにならないので私なりに納得していた解釈で補足します（計算は省略）．

微小面積 dS での時間 dt での昇華は dS の法線方向の深さ k dt で生じると考え，「物体が円柱であることは終始保たれ」ていると近似すると，円柱側面での体積の減少はほぼ 2πr h dr = 2πr h k dt，円柱の上下の円盤部分での体積の減少はほぼ πr^2 dh = πr^2 k dt の２倍（上下）であり，h が大きければ細い棒になって消滅，r が大きければ円盤が薄くなって消滅すると考えられます．

回答No.2

alice_44

これを物理の問題と捉えると、昇華してゆく過程では
円柱の角がとれて、数式で記述することが困難な
丸っこい形へと変形してゆくはず。したがって、
S(t) を式で記述することも、望み薄としか言えない。

それを数学の問題に作り変える際に、
「表面から昇華し少しずつ小さくなっていく」の部分で
かなり無理な割り切りが行われているはずで、
その割り切り(仮定)が何なのかを見極めれば、自然と
どう処理すべきかが見えてくる。

問題文には明示されていないが、恐らくは、
物体が円柱であることは終始保たれ、
r と h の減少速度が等しい(-dr/dt = -dh/dt)
ということなのだろうと思う。主観的推測に過ぎないが。

もし、そうであれば、
-dr/dt = -dh/dt = k (←定数) と置いて
dm/dt を t の式で記述することができ、
m と S の間に微分方程式が立てられる。
式を積分したあと、最後に k を T で表示して終わる。

回答No.1

Tacosan

実は半径と高さが時間によって変わると思った方がはやかったりして.