実験データの検定方法について(数式の比較)

質問

実験データの検定についての質問です．

ある実験を行うときに，実験結果はy=a*x^nという冪法則になるという理論があるとします(xは実験から得られる数値，aは定数，nは実験材料によって異なる冪指数(材料によって0.1～10程度まで異なる))．
実際に実験をし10個のデータをとりその近似曲線をとると，材料Aではy=1.5*x^(2.3)となり，材料Bではy=1.3*x^(1.06)になりました．
このときに実験Bの冪指数nは1に近いために今回行った実験範囲ではyとxを比例関係に近似することもできるのではないかと主張したい時はどのような検定を行えばよいでしょうか．
初めは10個のデータの
ｙ(冪関数に従う時y=1.3*x^(1.06))と，y(xと比例関係にある時y=1.4*x)
のデータの平均，分散を取りt検定によって有意差があるか調べたらよいのではないかと思ったのですが，数式同士の比較を行うときにt検定をしてもよいのかが分からず質問させてもらいました．

回答No.1

井口 豊（@Iguchi_Y） · ベストアンサー

まず，正確だが，やや高度な方法。

y = a*x^n

をデータに適合させて，n の信頼区間を調べること。
n = 1 が，その95% 信頼区間に入れば， 比例関係と判断できる。

次に，良く行われる方法だが，誤差がやや大きくなる方法。

データの対数を取り，以下のように適合させる。

log y = log a + n*log x

Y = A + n*X

と置いて，傾き n が１と異なるか検定すれば良い。

これは対数変換したデータに最小２乗適合させているので，厳密には，元のデータに最小２乗適合させたとは言えないが，よく行われ，大きな問題は起きないと言える。

例えば，例として
x　y　
1　1
2　2.1
3　2.9
4　4.2
5　5.1
6　6.2

というデータを考える。

私が良く使う　gnyuplot　というフリーソフトの　fit関数 で
y = a*x^n
に適合させると，以下のように出力される。

a = 0.996379 +/- 0.05116
n = 1.01932 +/- 0.03264

つまり，n = 1は，95%信頼区間内にある。

また，x, y を対数変換して，これまた私が良く使う　PAST　というフリーソフトのModel →　linear　のフィットを行うと，

n = 1.0125
95% n: 0.9268, 1.057

となり，やはり，n = 1は，95%信頼区間内にある。

n が異なるのは，前述の理由による。
直接適合の方が，より正確であるが，この例では，ほぼ同様な結果である。

このようにして，検定します。

お礼

返信ありがとうございます．
gnuplotは論文の図を載せるために良く使うのですが，図を表示する時にしか使ったことがなく，このような計算を行うことができるとは知りませんでした．
実際の生データで計算してみたところ4.86%と危うい数字ながらなんとか95%信頼区間に入りました．
これで論文に載せることができます