- ベストアンサー
ラプラス方程式とは？その性質と導出方法について
- ラプラス方程式は、ΔΦ=0で表される微分方程式です。
- この方程式は、どのスカラー関数Φに対しても成り立ちます。
- ラプラス方程式の導出方法については、2つの定義が存在します。
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞ そうすると、Δ＝∇・∇＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2z ＞ となるのか分かりませんが。 式が微妙に違うことがひとつ。 話の順番が逆であることがひとつ。 まず、Δ＝∂^2/∂x＾2+∂^2/∂y＾2+∂^2/∂z＾2 です。 それは、関数 φ に対して Δφ＝∂^2φ/∂x＾2+∂^2φ/∂y＾2+∂^2φ/∂z＾２ だという意味です。 Δ＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2z ではありません。 よく見ると、違いますね？ Δ＝∇・∇ が何故足し算になるのか？という質問は そもそも考えかたが全く逆で、Δ は Δφ＝∂^2φ/∂x＾2+∂^2φ/∂y＾2+∂^2φ/∂z＾２ によって定義されているのです。 それを覚えやすくするために、印象的に比喩したのが Δ＝∇・∇ です。 ∇ と ∇ の間の ・ が ベクトルの内積を暗示していて、 (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) どうしの内積だから (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 かな？というだけの話。 単なる比喩で、定義ではないので、 どうしてそうなるとかの理由は特にありません。
その他の回答 (3)
- dame_dame_
- ベストアンサー率77% (58/75)
＃1です ベクトルの内積 (a,b,c)・(d,e,f)=ad+be+cf なので ∇=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z） 同士の内積と考えるとラプラス演算子は 和の形になります。 というかそもそもラプラス演算子の定義が 和の形です。 （1）の形は違います ΔΦ=0の式自体はラプラス方程式として正しいです 詳しくはベクトル解析の本を読んでみるとよいと思います
お礼
ご回答ありがとうございます。 理解出来ました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
ラブラス方程式は、(2)です。(1)は違います。 教科書を見返して、 ラブラス作用素の定義を確認しましょう。 暗記用には、△=∇・∇ の式も、役に立ちます。 右辺のナカテンは、ベクトルの内容積を暗示 しているのです。 φ(x,y,z) のほうの話は、 引数 (x,y,z) がベクトル、関数値がスカラーです。 その φ は、ベクトルからスカラーへの写像なんです。
補足
ご回答ありがとうございます。 ナブラは、∇＝（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）という認識で正しいでしょうか？ そうすると、Δ＝∇・∇＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2zとなるのか分かりませんが。 なぜ、足し算になるのでしょうか？ また、ラプラス方程式ΔΦ=0は正しいですか？
- dame_dame_
- ベストアンサー率77% (58/75)
ラプラス演算子△はナブラの内積なので Δ＝∇・∇＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2z です。 なのでラプラス方程式の定義は(2)であり(1)はおかしいです またφは大きさのみの関数なので（多変数）スカラー関数です 例えば f(x,y)=x+y をスカラー関数と言うようなものです g(x,y)=(a(x,y),b(x,y),...) のようなものをベクトル関数と言います
補足
ご回答ありがとうございます。 スカラー関数に関しては理解できました。 ご回答ありがとうございます。 ナブラは、∇＝（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）という認識で正しいでしょうか？ ラプラス演算子△はナブラの内積なので Δ＝∇・∇＝∂^2/∂＾2x+∂^2/∂＾2y+∂^2/∂＾2z となる理由が分かりません。 どうして、和の形で表されるのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。
お礼
ご回答ありがとう御座います。 式間違ってました。申し訳有りません。 お陰様で理解出来ました。