ラプラスの方程式の問題について。

質問

「原点におかれた点電荷qによる電位φ(r)が、原点以外の点でラプラスの方程式∇^2φ(r) = 0を満たすことを示せ」

という問題があるのですが、解答の示し方で(ηは偏微分と思ってください)
η^2(1/r)/ηx^2 = -((1/r^3)-(3x^2・1/r^5))
より
∇^2 = -qk(3/r^3-3(x^2+y^2+z^2)/r^5)=0
という示し方をしているのですが、なぜ上式から下式が導けるのでしょうか？
そもそも偏微分η(1/r)/ηxという書き方の意味がよく分かりません…。なぜ普通（？）は
η(r)/ηx
という書き方だと思うのですが、それが1/rになると、式的にどういう意味になるのでしょう？それがどう下式を導くのでしょうか？

分からない部分が多くてすみません。よろしくお願いします。

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

ｘでなりたてば
∂^2(1/r)/∂x^2 = -((1/r^3)-(3x^2・1/r^5))
∂^2(1/r)/∂y^2 = -((1/r^3)-(3y^2・1/r^5))
∂^2(1/r)/∂z^2 = -((1/r^3)-(3z^2・1/r^5))
がなりたつから
∂(1/r)/∂xは∂/∂x(1/r)
とおなじ
∂ｆ/∂x
のｆに直接関数形をかいただけ
関数形がながければ∂/∂xを先にかいて
関数を後に書く

ちなみに、1/r　だからx,y,zのデカルト座標でなく
球座標で表したほうが簡単。
∇^2 φ=(1/r^2)∂(ｒ^2∂φ/∂r)/∂r
にだいにゅうすれば(ｒ^2∂φ/∂r)は定数になる

お礼

回答ありがとうございます。
解決しました。

回答No.1

Tacosan

難しく考えずに, 電位 φ(r) を x, y, z のそれぞれで偏微分したらいいんじゃないかなぁ.