完備化で

質問

有利数体Qから次のようにして連続の公理をみたす順序体Kが構成される。有理数列でコーシー列となるものの全体をAとする。Aは数列の和、積(An)+(Bn)=(An+Bn)、(An)(Bn)=(AnBn)により可換環となる。今二つのAの元(An)、(Bn)はAnーBn→０(n→∞)のとき同値であると定義する。(An)と同値なAの元全体の集合を[An]と記し、このような[An]全体の集合をRとする。このときAにおける和、積からRにも和、積が定義されRは可換環となるが実はRは体となることを示せ。
東京大学出版の解析入門からですがこの問題が解けなくて困っています、よろしくお願いします。

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

和，積が定義されることについては，

(1) 同値類の代表元のとり方によらないこと
(2) 演算の結果がまたRに属すること

を示せばよいのではないでしょうか。詳しく述べると，

(1) 同値であることを～，つまり
　　　(A_n)～(B_n) ⇔ A_n-B_n→0 (n→∞)
と表すことにすると，
　　(A_n)～(C_n)，(B_n)～(D_n)のとき，
　　(A_n+B_n)～(C_n+D_n)，(A_n*B_n)～(C_n*D_n)
が成り立つかどうかが問題です。

(2)（(1)のもとで）(A_n)，(B_n)が有理コーシー列ならば，(A_n+B_n)，(A_n*B_n)がともに有理コーシー列と言えるのかが問題です。

以上のような well-defined である（演算が矛盾なく定義される)かどうかの考察は，整数から有理数を構成するときも行ないましたね。抽象的でわかりにくいときは，今までに学んだ例を思い浮かべながら考えるとわかりやすいと思います。

あとの証明部分は，環と体を構成する演算法則を確認するだけなので，困難はないと思いますが，いかがでしょうか。

お礼

あっ、なるほど！同値となることを認められた演算で確認するんですね。そんなに難しく考えずに、その問題の前までに確認した理論を使えばすぱっとでますね。うっかりでした。ありがとうございます。

回答No.3

grothendieck

私の回答で抜けている部分があったので補足させて頂きます。(An)の逆元(Bn)がRに属すること、すなわちコーシー列であることも示す必要があります(1/xはx≠0で連続なのでほとんど明らかです)。

回答No.2

grothendieck

私はこの問題は環であることは既知として体であることを示すのが求められているのだと思います。すなわち、0を除き、積の逆元が存在することです。
[An]≠0の代表元(An)を一つとり、(Bn)を
　Bn = 1/An　(An≠0のとき)
　Bn = 1　(An=0のとき)
とします。[An]≠0より適当なε>0をとると、どんなNをとっても|An|>εとなるn>Nが存在するのでそのようなεを一つ固定します。(An)がコーシー列であることよりl, m>N1のとき
　|Al - Am|<ε/2
となるN1が存在します。すると|An|>εとなるn>N1が存在し、m>nとなる全てのmについて|Am - An|<ε/2だからAm≠0, AmBm=1となるので
　(An)(Bn) =1　(1と同値の意味)
すなわち(An)は逆元を持ちます。あとは(Bn)の同値類が[An]の代表元の取り方に依らないことを言わなければなりません。そちらは残しておくことにします。

お礼

収束条件からですね。あー、公理、定義、定理をまだ使いこなせていませんね、僕は。もっと勉強しないと、なんせ僕には才能が無いもんですから努力する他ありません。回答ありがとうございました。