群、環、体の定義に関する質問

質問

群→和
環→和、積
体→和、積、商

が定義されているわけですが、差はどれに定義されているのでしょうか？

回答No.2

KI401 · ベストアンサー

集合G上に、次のような二項演算p : G×G → G が定義されているとき、
Gはpについて群をなしているという。(もしくは、ペア(G,p)でもって群と呼ぶ)
　0)[結合法則] p(p(a,b),c) = p(a,p(b,c))
　1)[零元] Gの元g0が存在して、全てのgについて p(g,g0) = g となる。
　2)[逆元] 全てのGの元gについて、ある元g'が存在して、p(g,g') = g0 となる。

例えば、集合Gとして全ての実数の集合Rを取り、R上の二項演算として+を考えよう。
　0)[結合法則] a + (b + c) = (a + b) + c
　1)[零元] a + 0 = a
　2)[逆元] a + (-a) = 0
従って、Rは+に関して群を成す。
このように、二項演算を表す記号として＋を用いるとき、
「和」を意識して特に加法群と呼んだりもするが、それ以外に特に意味はない。
群の定義としては、二項演算が性質を満たしさえすれば別に何でもいいのだ。例えば、"×"でもいい。

で、見て分かるように「差」は「逆元の存在性」によって定義されていると言える。
つまり、我々は普段"-"という二項演算を何気なく a - b と書いて使うが、
+に関しての群Rの上では、それは a + (-a) の「略記法」に過ぎない。
「差」の概念は、既に「和」の概念の中に入っているということだ。

#----------------

特に集合Gとして整数や実数などのイメージしやすいものを考えれば、
確かに群には和が定義されていて、環には和と積が定義されているわけだけれど、
#1さんが指摘しているように、それは数学的に正しい言い表し方ではない。
環は群の性質に加えてさらに他の二項演算を定義したとき、
2種類の二項演算の間に"分配法則"が成り立つものであって、
体ではさらにその二項演算についても逆元が存在する。

環や体では、2種類の二項演算が出てきてややこしいので、
形式的に(分かりやすいよう)これらをそれぞれ「加法」「乗法」と呼んだりする。
繰り返しになるが、別にそれらが＋や×である必要はなく、定義を満たしさえすれば何でも良い。

イメージによる理解は一向に構わないのですが、それで本来の「定義」を間違えてしまわないように気をつけて下さい。
参考になれば幸い。

回答No.3

arrysthmia

それを言うなら、
半群→和
群→和、差
または、
半群→積
群→積、商
でしょうね。
群の定義には、逆元の存在が
含まれていますからね。
二項演算が１個では、和と積の
区別も無いし。

回答No.1

koko_u_u

>が定義されているわけですが

きっと定義を誤解しています。もう一度教科書を読み直して下さい。

お礼

分かりません。
どこが間違えていますか？？？