カタランの予想の証明方法はこれでどうでしょうか

質問

色々なご指摘を頂き、以下の様に修正しました
ａとｂを自然数、ｘとｙを2以上の自然数とする時、ａ＾{ｘ}－b^{ｙ}＝1の解は、ａ＝3、ｂ＝2、ｘ＝2、ｙ＝3に限る、即ち3^{2}－2^{3}＝1しかないとするのが、カタランの予想です。

ａ＾{ｘ}－b^{ｙ}＝1
ａ＾{ｘ}－1＝b^{ｙ}
ａ＾{ｘ}－1＝(1)（∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－1]）＊（a－1） ※便宜上この様に表します
b^{x}＝(2)（∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｙ－1]）＊（ｂ－1）+1　　※公式より
(1)が(2)の形に表されなければ、(1)はb^{x}となりません　違いは(2)の最後の+1の部分のみです

(1)＝（∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－1]－（1／2））＊（a－1）+（a－1）／2
＝（∑ａ^{ｋ}[ｋ＝0～ｘ－1]－（1／2））＊（a－1）＊（ａ－1－1）+（a－1）／2　　※後に出ますが（ａ－1－1）＝1なのでこの様に変形出来ます
＝(3)（（ａ－1+1）^{ｘ－1}＊（a－1）+（ａ－1+1）^{ｘ－2}＊（a－1）+（ａ－1+1）^{ｘ－3}＊（a－1）+・・・+（ａ－1+1）^{2}＊（a－1）+（ａ－1+1）＊（a－1）+（a－1）／2）＊（ａ－1－1）+（a－1）／2
＝(2)（∑ｂ^{ｋ}[ｋ＝0～ｙ－1]）＊（ｂ－1）+1
∴（a－1）／2＝1、ａ＝3
　（ａ－1－1）＝3－2＝1＝（ｂ－1）、ｂ＝2、(4)ａ－1＝ｂ

(4)を(3)に代入して
(3)＝(5)（（ｂ+1）^{ｘ－1}＊ｂ+（ｂ+1）^{ｘ－2}＊ｂ+（ｂ+1）^{ｘ－3}＊ｂ+・・・+（ｂ+1）^{2}＊ｂ+（ｂ+1）＊ｂ+1）＊（ｂ－1）+1
＝(2)＝(6)（ｂ^{ｙ－1}+ｂ^{ｙ－2}+ｂ^{ｙ－3}+・・・+ｂ^{2}+ｂ+1）＊（ｂ－1）+1

ｘ＝2、ｙ＝3の時
(5)＝（（ｂ+1）＊ｂ+1）＊（ｂ－1）+1＝（ｂ^{2}+ｂ+1）＊（ｂ－1）+1＝(6)となり、(5)＝(6)が成立します

ｘ≧3、ｙ≧4の時
(5)の中の（ｂ+1）^{ｘ－1}＊ｂ+（ｂ+1）^{ｘ－2}＊ｂ+（ｂ+1）^{ｘ－3}＊ｂ+・・・+（ｂ+1）^{2}＊ｂ+（ｂ+1）＊ｂ+1の式において
ｂ^{0}の係数＝1、ｂ^{1}の係数＝ｘ－1≧2、ｂ^{2}の係数＝ｘ（ｘ－1）／2≧3となり、(5)≠(6)となります

従って、ａ＾{ｘ}－b^{ｙ}＝1の解は、ａ＝3、ｂ＝2、ｘ＝2、ｙ＝3、即ち3^{2}－2^{3}＝1しかないと言えます
この証明方法でどうでしょうか

回答No.2

nag0720

＞※後に出ますが（ａ－1－1）＝1なのでこの様に変形出来ます

a=3を証明するのに、a=3を前提にしているってこと？