連続の式について

質問

dt時間に流菅要素dsに流入する物体の質量は（ρｖA）dtである。

次に同じ時間内に流出する質量は｛ρvA＋∂(ρvA)/∂s・ds ｝dtである。
（Aは流菅要素の断面積、ｖは流速、ρは密度）

教科書には「流量は｛ρvA＋∂(ρvA)/∂s・ds ｝dtになる」としか書かれていないので、導き方が分かりません。

流出する質量の式｛ρvA＋∂(ρvA)/∂s・ds ｝dtはどのようにして求めたらいいのでしょうか。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

それなら1次元にしてしまえば

J(x+dx) = J(x) + (ｄJ/ｄx)dx

これを3次元に拡張したものです。

場所場所で流れの方向にx軸をを取り、xの代わりにsと書いた。

こんな説明でどうでしょう？

お礼

1次元にすると考えやすいですね。参考にさせていただきます。

ありがとうございます(^^)

回答No.1

hitokotonusi

ただ単にテーラー展開して1次の項まで取っているだけです。

ρvAは断面積Aを流れる流量なのでJ(x,y,z)と書くことにすると、一次までのテーラー展開で

J(x+dx, y+dy, z+dz) = J(x,y,z) + (∂J/∂x)dx + (∂J/∂y)dy + (∂J/∂z)dz

ここでベクトル( (∂J/∂x), (∂J/∂y), (∂J/∂z) )は勾配(グラジエント)に他ならないのでdr↑=(dx, dy, dz)と定義すると

J(x+dx, y+dy, z+dz) = J(x,y,z) + (∇Ｊ)・(dr↑)

この２項目の(∇Ｊ)・(dr↑)は

(∇Ｊ)・(dr↑) = |∇Ｊ||dr↑|cosθ=(|∇Ｊ|cosθ)×|dr↑|

となるので

∂Ｊ/∂s = |∇Ｊ|cosθ,　　ds =|dr↑|

と書いて

(∂J/∂s)ds

と記述されています。これは、方向微分などと呼ばれています。

補足

ベクトル解析や方向微分はならってないんですよね。そちらの方を学習しておかないと無理なんでしょうか??