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連続の式について
dt時間に流菅要素dsに流入する物体の質量は（ρｖA）dtである。 次に同じ時間内に流出する質量は｛ρvA＋∂(ρvA)/∂s・ds ｝dtである。 （Aは流菅要素の断面積、ｖは流速、ρは密度） 教科書には「流量は｛ρvA＋∂(ρvA)/∂s・ds ｝dtになる」としか書かれていないので、導き方が分かりません。 流出する質量の式｛ρvA＋∂(ρvA)/∂s・ds ｝dtはどのようにして求めたらいいのでしょうか。 回答よろしくお願いします。
- sirayuri45
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- hitokotonusi
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ただ単にテーラー展開して1次の項まで取っているだけです。 ρvAは断面積Aを流れる流量なのでJ(x,y,z)と書くことにすると、一次までのテーラー展開で J(x+dx, y+dy, z+dz) = J(x,y,z) + (∂J/∂x)dx + (∂J/∂y)dy + (∂J/∂z)dz ここでベクトル( (∂J/∂x), (∂J/∂y), (∂J/∂z) )は勾配(グラジエント)に他ならないのでdr↑=(dx, dy, dz)と定義すると J(x+dx, y+dy, z+dz) = J(x,y,z) + (∇Ｊ)・(dr↑) この２項目の(∇Ｊ)・(dr↑)は (∇Ｊ)・(dr↑) = |∇Ｊ||dr↑|cosθ=(|∇Ｊ|cosθ)×|dr↑| となるので ∂Ｊ/∂s = |∇Ｊ|cosθ, ds =|dr↑| と書いて (∂J/∂s)ds と記述されています。これは、方向微分などと呼ばれています。
補足
ベクトル解析や方向微分はならってないんですよね。そちらの方を学習しておかないと無理なんでしょうか??
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お礼
1次元にすると考えやすいですね。参考にさせていただきます。 ありがとうございます(^^)