【至急！】運動量の法則で考える力について

質問

閲覧ありがとうございます．お世話になります．

図に示すように，板の前方から奥行無限大のスリット上の噴流が板に垂直に衝突し，その後，左右方向に分かれて進んでいます．適当な奥行きの直方体形の検査体積をCVととると，流入する噴流の流速はw，断面積はSとなるとします．さて，板は滑らかとし，つまり摩擦はないので損失もなく，ベルヌーイの式が使えます．流入口での噴流の静圧は大気圧Paであり，さらにCVの境界面は噴流と板との衝突点から十分離れているとすれば，流出口でも水の圧力は大気圧Paとみなせます．高さは今の場合，同じですので(図は上から見たものです)，ベルヌーイの式で，運動エネルギーの項と圧力の項の和が等しいのですが，圧力が流入流出口いずれでも等しいので，結局，図に示すように流速は流入出口でwです．また，質量保存の関係と対称性から左右への流出断面積はともにS/2としてよいでしょう．なお，重力は無視します．

ここからが本題なのですが，定常流れに対する運動量の法則は
「検査体積の検査面Scから単位時間に流出する運動量と流入する運動量の差は，検査体積に作用する力に等しい」．

今の場合，運動量はx成分(図の左右方向，右側正)については，
流出：0
流入：ρw×Sw　=　ρw^2S
y成分(図の上下方向，上側正)については，
流出：ρw×wS/2　＋　(－ρw)×wS/2　=　0
流入：0

よって，流出する運動量と流入する運動量の差は，x方向で－ρw^2S，y方向で0

運動量の法則によれば，検査体積内の噴流に作用する力のx成分が－ρw^2S，y成分が0ということになります．

さて，テキストでは，この－ρw^2Sというものを図のFとしています．つまり，板が噴流に及ぼす力です．そしてその反作用として目的の噴流が衝突することによって板に及ぼす力を求められるとしています(結論：板に及ぼす力＝ρw^S)．

ここで，次のような疑問を生じました．周囲はいたるところ大気圧ですから，添付した図のように検査体積内の噴流には大気圧力も受けているはずです．また，流入口の流入直前の噴流からの圧力も受けているはずですが，これも大気圧なので，結局，噴流に作用する大気や外部の噴流による力のx成分は，おそらくPaTとなるのではないかと思います．ここでTは検査体積表面のうち板に対面する面の面積です．一方，左右からの(図で言えば上下ですが)大気による力は釣り合うのでこれが0です．

x方向について考えれば，流出する運動量と流入する運動量の差が－ρw^2Sとなるのはわかりますが，これは検査体積内の噴流に作用する力のx成分だとすれば，図に示すように，大気や外部噴流による力PaTと板が噴流に及ぼす力Fの和が－ρw^2Sになると思うのです．

一方，検査体積CVを図の場合と違って，さらに板の裏側まで広げるとします．噴流と板全体を系として，その運動量の差引も板は動かないので，噴流だけを系とした場合と同じ(－ρw^2S，0)になります．この場合は，検査体積内の噴流と板に作用する力が(－ρw^2S，0)だと思います．この場合，図に示したように大気や外部噴流から噴流が受ける力と，今回の場合は，板の裏側が大気から受ける力は釣り合います(投影面積が等しいので恐らく)．全体として外力は釣り合っているのに運動量が変化しているということになります．もちろん，板と噴流の間に力が働きますが，これは今の場合，内力だと思います．

以上，2通りについて述べましたが，どこの理解が間違っているのか，ご指摘ください．よろしくお願いします．

回答No.1

masa2211

＞検査体積CVを板の裏側まで広げるとします．噴流と板全体を系として，その運動量の差引も板は動かないので
＞噴流だけを系とした場合と同じ(－ρw^2S，0)になります．この場合は，検査体積内の噴流と板に作用する力が
＞(－ρw^2S，0)だと思います．この場合，図に示したように大気や外部噴流から噴流が受ける力と，今回の場合は，
＞板の裏側が大気から受ける力は釣り合います(投影面積が等しいので恐らく)．全体として外力は釣り合っている
＞のに運動量が変化しているということになります．

大気圧×面積は裏表等しいので、水がぶつかった分の力、ρw^2Sが右方向へはたらきます。
ゆえに、支えが無ければ、板は右に吹っ飛びます。

この部分が誤り。
＞結局，噴流に作用する大気や外部の噴流による力のx成分は，おそらくPaTとなるのではないかと思います．
大気による力のx成分がPaT　（板の左半分のみ）　であり、　流水の動圧成分（ρw^2S）は含まれていないのいで、
別途加算しないとなりません。
早い話、大気圧をゼロ（＝ゲージ圧）とした計算に対し、左右に大気圧を足しただけ。

お礼

補足機能が壊れてるみたいなのでこちらで代用します．
回答ありがとうございます．

>大気圧×面積は裏表等しいので、水がぶつかった分の力、ρw^2Sが右方向へはたらきます。
ゆえに、支えが無ければ、板は右に吹っ飛びます。

感覚的にはわかるのですが，どうもしっくりこないんです．感覚で解くのは嫌だし，怖いので…．すみません．運動量の法則の説明として，流体だけを検査体積にとる場合，単位時間の運動量の流出量は検査体積内の「流体に」働く力いうものがあります．そこで，噴流と板を囲むように検査体積をとって(前述のように)，今度は噴流と板を合わせて1つの系と見ます．

Q1.運動量流出量はすでに求まっていますので，それがこの系に作用する力となるのは間違いないですか？

そして，おっしゃる通りこの噴流-板系のx方向の大気などによる圧力は釣り合っています．一つ，見落としていましたが，この系に働く外力として，検査体積からはみ出した部分の板から受ける力(せん断力(？)；向きはx方向)なんていうのはありでしょうか．その力の作用点は検査体積の表面上です．大気圧力(+噴流圧力)は釣り合って消えるので，陽に残るのはこの系外板から噴流-板系が受ける力だけであり，これが，－ρw^2Sである．噴流がなければこんな力は働かないので，逆に言えば，この力は噴流によるものであるということができそうです．噴流-板系に働く外力が－ρw^2S．今，噴流と板を合わせて1つの系にしてしまっているのでその内力，つまり噴流と板間の力は求まりそうにありません．

少し，話が変わりますが，

「そもそも検査体積に働く力」というのがわかりません．運動量の法則導出においては，検査体積は別に流体である必要はなく，空間でよろしかったと思います．ということは，仮想的な検査体積という空間に働く力と考えてもいいのでしょうか．

たとえば，申し訳ありません，掲載した図とは異なるのですが，後者の，検査体積を板の裏側まで広げた場合について話をさせていただきます．

検査体積の表面の圧力は，噴流部も大気部もすべて大気圧なので，検査体積がどんな形であっても検査体積の表面に働く圧力系の力は必ず釣り合います．
次に噴流は検査体積を直交しており，流出直後の噴流は検査体積の表面に力を及ぼしません．同様に流入直前の噴流も検査体積表面に力を及ぼしません．
次に板は検査体積表面を横切っており，なんというか，板の内部を検査体積表面が貫いている面には，検査体積表面外側の板部分から力を受けるでしょう．対称性からその力の向きは図で言えば左右方向(上下方向はあったとしても打ち消されますが，ここでは実際にはありません)．
そして，検査体積を流出する単位時間当たりの運動量は(流入を負として)，(－ρw^2S，0)でした．

x成分を考えると，
運動量収支：－ρw^2S
検査体積表面にかかる力：噴流や大気の圧力：合計0　板からの力：F

y成分を考えると，
運動量収支：0
検査体積表面にかかる力：噴流や大気の圧力：合計0

こうすれば，まぁF＝－ρw^2Sとなって，逆に板に働く合力はρw^2Sとなるんですけれども…やはり，間違った方法ですかね．

補足

回答ありがとうございます．

>大気圧×面積は裏表等しいので、水がぶつかった分の力、ρw^2Sが右方向へはたらきます。
ゆえに、支えが無ければ、板は右に吹っ飛びます。

感覚的にはわかるのですが，どうもしっくりこないんです．感覚で解くのは嫌だし，怖いので…．すみません．運動量の法則の説明として，流体だけを検査体積にとる場合，単位時間の運動量の流出量は検査体積内の「流体に」働く力いうものがあります．そこで，噴流と板を囲むように検査体積をとって(前述のように)，今度は噴流と板を合わせて1つの系と見ます．

Q1.運動量流出量はすでに求まっていますので，それがこの系に作用する力となるのは間違いないですか？

そして，おっしゃる通りこの噴流-板系のx方向の大気などによる圧力は釣り合っています．一つ，見落としていましたが，この系に働く外力として，検査体積からはみ出した部分の板から受ける力(せん断力(？)；向きはx方向)なんていうのはありでしょうか．その力の作用点は検査体積の表面上です．大気圧力(+噴流圧力)は釣り合って消えるので，陽に残るのはこの系外板から噴流-板系が受ける力だけであり，これが，－ρw^2Sである．噴流がなければこんな力は働かないので，逆に言えば，この力は噴流によるものであるということができそうです．噴流-板系に働く外力が－ρw^2S．今，噴流と板を合わせて1つの系にしてしまっているのでその内力，つまり噴流と板間の力は求まりそうにありません．

少し，話が変わりますが，

「そもそも検査体積に働く力」というのがわかりません．運動量の法則導出においては，検査体積は別に流体である必要はなく，空間でよろしかったと思います．ということは，仮想的な検査体積という空間に働く力と考えてもいいのでしょうか．

たとえば，申し訳ありません，掲載した図とは異なるのですが，後者の，検査体積を板の裏側まで広げた場合について話をさせていただきます．

検査体積の表面の圧力は，噴流部も大気部もすべて大気圧なので，検査体積がどんな形であっても検査体積の表面に働く圧力系の力は必ず釣り合います．
次に噴流は検査体積を直交しており，流出直後の噴流は検査体積の表面に力を及ぼしません．同様に流入直前の噴流も検査体積表面に力を及ぼしません．
次に板は検査体積表面を横切っており，なんというか，板の内部を検査体積表面が貫いている面には，検査体積表面外側の板部分から力を受けるでしょう．対称性からその力の向きは図で言えば左右方向(上下方向はあったとしても打ち消されますが，ここでは実際にはありません)．
そして，検査体積を流出する単位時間当たりの運動量は(流入を負として)，(－ρw^2S，0)でした．

x成分を考えると，
運動量収支：－ρw^2S
検査体積表面にかかる力：噴流や大気の圧力：合計0　板からの力：F

y成分を考えると，
運動量収支：0
検査体積表面にかかる力：噴流や大気の圧力：合計0

こうすれば，まぁF＝－ρw^2Sとなって，逆に板に働く合力はρw^2Sとなるんですけれども…やはり，間違った方法ですかね．