この問題の採点をお願いします。
tは0< t <πを満たす実数とする。
a[n]は数列です。
a[1] = cos t/2
a[n] = a [n-1](cos t/2^n) (n= 2, 3, ・・)
のときに、a[n]をtを用いて表せ。
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いま
0< t <π, n≧2より, 0 < t/2^n <π/2^2=π/4より、0 < cos t/n^2である。
0< t/2 <π/2より
次に、a[1] = cos t/2 > ０である。つまり正、したがって、a[2] > 0となる。順次、この議論を
繰り返せば、帰納的にa[n] > 0である。
次に与式の対数(底はe)を取る
n≧2のとき
log a[n] = log a[n-1] + log cos t/2^n
log a[n-1] = log a[n-2] + log cos t/2^(n-1)
・・
log a[2] = log a[1] + log cos t/2^2
上記を足し算すれば、log a[n] = log a[1] + log cos t/2^2 + ・・ + log cos t/2^(n-1) + log cos t/2^n
log a[n] = log cos t/2 ・cos t/2^2 + ・・cos t/2^(n-1) ・cos t/2^n
となる。
---------------b
ここで、
cos t/2 = sin t /2sin t/2
cos t/2^2 = {sin 2・t/4} / { 2sin t/4 }・・ cos t/2^n = {sin t/2^(n-1)} / {2sin t/2^n}
となり、上記に代入して、分子分母を消去すると、a[n] = sin t / {2^n sin t/n^2}
となる。
一応最後の答えは一致したのですが、不安なのが、-----------bより下の部分です。
やっぱり、cos t/2^n = 2sin t/2^n cost/2^n/ 2sin t/2^n
を帰納法で証明したほうがいいですか？
お礼
２乗平均和の平方根で、√2Iμ0bＮ/2π log a+b/a・ωcosωt[V]を積分したら、cosωtがなくなりIrms＝√S/√πで実効値を求めると、Iμ0bＮ/2π log a+b/a・ωになりました。よくわかりました、ありがとうございます。