教えてください

質問

周の長さが40cmの長方形を作りたい。長方形の面積を最大にするためには、縦の長さを何cmにすればよいか。

できれば式と答えを教えてくれませんか？
よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

周の長さが一定の長方形の中で、
面積が最大なのは、正方形です。

下図のように、周の長さが同じ正方形と長方形を
ひとつの直角が重なるように描いてみると、
はみ出した部分の短い辺が同じ長さになります。
ピンクの部分の面積が ab、
ブルーの部分の面積が (a-b)b ですから、
正方形の面積は、長方形より大きいですね？

周の長さが40cmの正方形の一辺は、10cmです。

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます！

回答No.1

noname#154783

長方形の縦の長さを y [cm]，横の長さを x [cm] とします．
長方形の周の長さは40 cmなので，
2x + 2y = 40 [cm]
∴x = 20 - y [cm].

したがって，この長方形の面積 S [cm^2] は次のように表される：
S = xy = (20 - y)y = -y^2 + 20y = -(y - 10)^2 + 100. …(1)

ただし，長方形が成立するには y > 0 かつ x > 0 でなければならないので，
0 < y < 20.
この範囲でSは，(1)式より
y = 10 [cm]
のとき，最大値
S = 100 [cm^2]
をとる．

答：縦の長さを 10 cm にすればよい．

お礼

本当にありがとうございました！