積分の計算方法をお願いします。

質問

∫(r-Rcosθ)/(r^2+R^2-2Rcosθ) dθ

という式ですがどう積分すればいいのかわかりません。
ご教授お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

質問サイトの回答者にやらせようとか、
数式処理ソフトにやらせようとか考えていると、
自分でできるようにはなりませんよ。
ここでは、計算手順の概略だけ。

cos の倍角公式より、cosθ = (1-tの2乗)/(1+tの2乗)。
t の定義式を微分して、dt/dθ = (1+tの2乗)/2。
これらを代入すると、
与式 = ∫｛ A(B+tの2乗)/((C+tの2乗)(1+tの2乗)) ｝dt
と表せる。A,B,C は、r,R から計算できる定数。

この被積分関数を (tの2乗) の分数式と見て、
部分分数分解すれば、
与式 = ∫｛ D/(1+tの2乗) + E/(C+tの2乗) ｝dt
と変形できる。D,E も定数である。

第一項は、dt/dθ を思い出せば直ぐ積分できる。
第二項の計算は、C の符号に依る。
C ＞ 0 であれば、t = u√C で置換して
後は第一項と同様。
C ＜ 0 であれば、更に部分分数分解して
積分すると log が現れる。

回答No.2

inara1

数式処理ソフト（MapleV）を使うと添付図のように解析的に表せます。R > r なら添付図末尾の式になります。tan(x) = (R+r)/(R-r)*tan(θ/2) と置換すれば筆算でも計算できるかもしれません。

回答No.1

alice_44

t = tan(θ/2) と置いて、
dθ から dt へ置換積分。

補足

それは試したのですが結局よくわからない式になってしまいました…。

できれば置換したあとの計算をお願い出来ませんか？