大学の数学科の数学
私は今、物理科４年生で理論物理を学んでおり、大学院に進学予定です。
そのためかなり高度な数学も学ぶ必要があり、今苦心しているところです。
私はまだ学部生なので、そこまで高度なことは学んでないのですが、
群論、微分幾何、リーマン幾何学、リー代数、トポロジー、ホモロジー、ホモトピー、ルベーグ積分、ヒルベルト空間論、位相、多様体
などという言葉を研究室内でよく耳にするので、恐らくこういうのを今後学んでいかなければならないのだと思います。
しかし、私は、物理数学として学部時代に少し学んだだけで、ちゃんと体系的に学んできたわけではないので、数学科の人が何をどういう順番で学んでいるのかよく知りません。
上にあげたような分野も、それを学ぶ前に前提として学んでおかなければならないことが何なのかが全く分かりません。
そこで質問なのですが、数学科の人たちはどのような科目をどのような順番で学んでいるのでしょうか？そして数学科の人が卒業するまでに求められる範囲というのはどのへんまでなんでしょうか？
例えば物理学科だったら、すべての学生に求められる範囲（とその順番）は
力学
電磁気学
物理数学（微積分・線形代数・ベクトル解析・フーリエ解析・複素解析・確率・統計）
↓
特殊相対性理論
解析力学
熱力学
↓
量子力学
統計力学
といった感じだと思います。
色んな大学の数学科のホームページのカリキュラムのところを見たのですが、
「代数１」「解析１」みたいな感じの名前ばっかりで、中身がなんなのかは分からないのが多いです。
そいういう大雑把な名前ではなく、フーリエ解析とか群論、みたいにある程度具体的に教えていただけると助かります。
あと、数学の体系についても少し教えてもらえるとうれしいです。
私の理解だと、数学の分野は大きく分けて、
代数学・解析学・幾何学・集合論・確率統計・情報理論
に分かれると思うのですが、大体合ってますか？
例えば線形代数は代数学、微積は解析学に入りますが、例えばフーリエ解析や複素解析はどこに入るのでしょうか？解析ってついてるくらいだから解析学ですかね？
位相やヒルベルト空間論や離散数学はどこに入りますか？
また、幾何学や集合論にはどういうのが含まれるのでしょうか？特に学部レベルだと何をやるんでしょうか？
色々質問しましたが、答えたいものだけ答えていただくのでも構いませんのでよろしくお願いします。
長くてすみません。
