三角関数について質問です

質問

ご閲覧ありがとうございます。

個人レベルで3Dプログラムの製作をしているのですが、その中でビルボードを行っていました。
ビルボート自体は行列を用いれば簡単に実現できますが、その際、
arctanを用いて2つのベクトルの迎角を求める必要があります。

このarctanなのですが、逆三角関数ということですので角度ｘがあるとして、

x = arctan( tan(x) )

が成り立つということだけしか理解していません。
プログラムだけならば調べればサンプル程度はすぐに入手できるのですが、
やはり三角関数の表面だけでも理解できないのは問題だろうと思ったので質問させて頂きました。

いくら三角関数を調べても、直角三角形の比がどうたらとの記述が多いのですが、
それが何？としか思えません。

そもそもsinθは角度なの？辺なの？それとも式？図によって位置が違わない？
といった有様です。

冒頭のプログラムの話に戻るのですが、いくらネットで検索しても三角関数の説明は
文章と幾何学的なグラフしか載せられておらず、やはり何も得られるものがありませんでした。
できれば、図を多用したサイトなのがあると希望が持てそうなのですが…。

そもそも高校時代から公式を丸暗記していただけでしたので…今ではそれすら完全に忘れています。

そこで、三角関数・逆三角関数をご教授して頂きたいと思います。
特にお教え頂きたいのは、『そもそも三角関数はどう理解したらいいのか？』です。

同じく、その辺りが非常に分かりやすい書籍やサイト（高校数学や大学生向けの書籍
ではなく、ゲーム関連の実用書です）をご存知でしたらそちらをお教え頂けないでしょうか？

思い切りの初心者ですので質問内容に不備があるかもしれませんが
ご回答頂けると助かります。

よろしくお願いします。

回答No.1

chie65535 · ベストアンサー

・sinθ→斜辺と底辺の成す角度がθ度の直角三角形で、斜辺の長さが１の時、底辺の長さはなんぼや？

例えば「勾配が１５度のまっすぐな坂で、坂の下から坂の上まで、道路をメジャーで計ったら、１０ｍあった。地図の上では、この坂は何ｍになってるか？」の答えは「sin15度×１０ｍ」になる。

・cosθ→斜辺と底辺の成す角度がθ度の直角三角形で、斜辺の長さが１の時、高さはなんぼや？

例えば「勾配が１５度のまっすぐな坂で、坂の下から坂の上まで、道路をメジャーで計ったら、１０ｍあった。この坂を登ると何ｍ登るか？」の答えは「cos15度×１０ｍ登る」になる。

・tanθ→斜辺と底辺の成す角度がθ度の直角三角形で、底辺と高さの比率はなんぼや？

例えば「高配が１５度のまっすぐな坂で、坂の下から登り始め、地図上で５０ｍ分登った。高さで言うと何ｍ分登ったか？」の答えは「tan15度×５０ｍ登った」になる。

・arctan(高さ÷底辺)→高さと底辺の比率を「高さ÷底辺」にしたとき、直角三角形の斜辺と底辺の成す角度はなんぼや？

直角二等辺三角形（三角定規で、高さと底辺が一緒で、４５度のやつ）では「高さ÷底辺」が「１÷１」になるので「arctan(1)」は、４５度を表すラジアン値を返します。

同様に「tan(45度を表すラジアン値)」は「高さ÷底辺」である「１÷１」を、つまり「１」を返します。

ラジアン値とは「３６０度を２πとして表した値」です。

ラジアン値が「２π」であれば「３６０度」です。

ラジアン値が「π」であれば「１８０度」です。

ラジアン値が「０．５π」であれば「９０度」です。

ラジアン値が「０．２５π」であれば「４５度」です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

三角関数はそれぞれ異なった使い方があるということですね。
分かりやすい例題も挙げて頂きありがとうございます。

回答No.3

vegsoup

振動を表す時に使ったりしました。角度θを０から増やしていくと、サインθもコサインθも波形のグラフを描きます。縦軸投影、横軸投影などの言葉で検索してみては。

お礼

ご回答ありがとうございます。

確かに三角関数を使うと振動の表現が簡潔に表現できますね。
ほとんど決まり文句なので、覚えるというより癖で使っていますね。
ですからその辺りも根本から理解できたらいいのですが…。

回答No.2

k_kota

まあ、あくまで個人的な見解ですが、

三角関数は既にご存じの通り、中心角とそれに対応した三角形の比の関数です。
それぞれがどのような定義になっているのかはWIKIの図でもみれば分かると思います。

角から比を求めるのが三角関数で、
比から角を求めるのが逆三角関数ですね。

まあ、値の範囲が制限されますが分かりやすい対応だと思います。

内容としてはそれだけで、そこからどのように使うのか、使えるのかは用途によります。目的を理解すれば式の意味も分かるでしょう。

と、ここまで書きましたが、意地悪な言い方をします。
数学は暗記だと思ってるうちは理解できません。
文字と数式のかたまりしかないでしょうが、それを絵本を読むように
さらさらと読めないと理解はできないかもしれません。
まあ、理解しないで使うのもありだと思います。

得られるものが無いのではなく、得る能力が無いのではないの？歩み寄れてないのではないのか？と言う話です。

まあ、簡単ではないのも分かりますが、とりあえずその文章たちに向き合ってみてはどうでしょうか。
そう言うのに慣れないと、さらに難しい処理にぶちあたった時に手も足も出なくなるかも知れません。

でも、現実的にはありものを使ってOKならそれでいいじゃんって気もします。

お礼

ご回答ありがとうございます。

wikiのグラフは値の遷移が理解しやすいので重宝しています。
ですが解説の方はwikiお決まりの遠まわしな構文なので、あまり読む気は起きませんね。
初歩から解説してくれる書籍を探してみたいと思います。