- ベストアンサー
命題「PならばQ」でPが偽ならば、命題は真？
boisewebの回答
これはすでに語り尽くされた問いで，この問いへの答えだけで本が1冊書けてしまう… というのは決して誇張ではなく， 鈴木登志雄(著)「論理リテラシー」培風館 という本はまさに「この問いへの答え」を1冊の本にしてしまったようなものです． 私としては次のように答えておきます． (1) Pが偽のとき，「PならばQ」は『真になる』のではなく，『真とする』のです．つまり，「PならばQ」という命題の真偽をそのように『定める』のが，数学の世界で合意された約束事です． (2) なぜそのように定めるのかという理由は， -- 数学の論理を理論化して形式的に扱えるようにする -- そのうえで，数学の論理で通常用いられる「ならば」という語と折り合いをつける ためには『そのように定めるのが都合がよい』からです． (3) なぜそのように定めると都合がよいのか？ この段階で，いろんな説明が試みられています．でも，それを心底『納得』するには，たぶん，自分自身で数学の論理を扱う経験を重ねることで，「数学の論理とは何か」を洞察できるだけの成熟した理解に達する必要があるでしょう． (4) （数学以外の文脈で用いられる）日本語の「ならば」とどうやって折り合いをつけるのか？ これは数学というより文学の問題で，前掲の鈴木登志雄氏の書をじっくり読んでください．
関連するQ&A
- 今更聞けない「PならばQ」の考え方
甥っ子に質問され明確に答えられません、 P→Qの真偽について、P,Qに変数が入った場合、どうなるのか？ 例１ P:x=3 Q：x^2=9 でP→Q の真偽を考えるとき これは任意のxについて考えるものなのでしょうか？ この場合x=3が真の時x^2=9も真なのでP→Qは真。x=3が偽の時はQの真偽に関係なくP→Qは真なので、全てのxについて P→Q は真といえますが、 例２ P:x=3 Q：x^2=10 でP→Q の真偽を考えるとき x=3が真なら x^2=10は偽で P→Qは偽になりますが、x=3が偽なら Qに関係なくP→Qは真。 これは真偽が不明ととらえるのでしょうか？ それとも任意のｘで真とならないので偽ととらえるのでしょうか？ 私自身はこれまであまり深く考えなく、P→Qを if P then Q ととらえてましたので、「Pは真と仮定して」が暗黙のうちに隠されていると思ってました。すなわち P→Q は （Pが真）で P→Q を考えていましたが、皆さんはどうなんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「PならばQ」の真理関数表は言語とは無関係ですか？
P→Qの真偽について下のように定義すると言われます。 P Q P→Q 【1】真 真 真 【2】真 偽 偽 【3】偽 真 真 【4】偽 偽 真 これは日常の言語（命題）の真偽とは無関係に定義した、形式的なパズルのようなもの、と理解してよいのでしょうか？ 日常言語に対応させると、おかしなことが生じるようです。 たとえば、Pを4の倍数として、Qを2の倍数とすると、 ------------------ 【1】4の倍数ならば、2の倍数である。 ・・・これは全面的に真 【2】4の倍数ならば、2の倍数でない。 ・・・これは全面的に偽 【3】4の倍数でないならば、2の倍数である。 ・・・これは部分的に真かつ部分的に偽。2、3、5、6、7、9、10などは2の倍数の時もあるし、2の倍数でない時もある。 【4】4の倍数でないならば、2の倍数でない。 ・・・これも部分的に真かつ部分的に偽。2、3、5、6、7、9、10などは2の倍数の時もあるし、2の倍数でない時もある。 ---------------------- 【1】が真で、【2】が偽であることは分かります。分からないのは【3】と【4】です。 もし【3】が真な命題なのであるとしたら、【3の対偶】も真であるはずです。 ------------------- 【3の対偶】2の倍数でないならば、4の倍数である。 ・・・これは明らかに間違っていて、偽です。 ------------------- 日常言語と関係させるのがそもそもの間違いなのでしょうか？ 真理関数表は日常の言語（命題）の真偽とは無関係に定義した、形式的なパズルのようなもの、と理解してよいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 命題について
いま、「数学は言葉」という本を読んでいます。 ｐ３８からｐ３９にかけて、 「証明できないような図形の命題をあげよ」という例題があります。 「ｘは三角形である。」 「ｘに代入する値によって、この命題の真偽は変化するのです。このような命題は証明することができません。」 とあるのですが、真偽が変化するのにどうして命題といえるのか。真偽が判定できるから命題というのではないのでしょうか。もちろん、証明できないから命題ではないと言えないのは分かりますが。例えば、三平方の定理とか。 さらにｐ３９のところで、 「三角形の２辺の長さの和は残る１辺の長さよりも短い」も図形の命題ですが、偽なる命題です。偽なる命題が証明されてしまっては困ります。 以上のことから、「自由な変数が含まれているため、真偽が定まらない命題」や「偽なる命題」は（枠組み自体が歪んでいない限り）証明できないことがわかります。 とあります。 「三角形の２辺の長さの和は残る１辺の長さよりも短い」は偽なのは分かりますが、証明できるものなのかどうかよく考えてみると少なくとも私には証明できません。ということはこれは「証明できない命題」なのでしょうか。もし証明できないとすれば例題の証明できない図形の命題ということになるのですが。さらに「偽なる命題が証明されてしまっては困ります。」とはどういう意味で書かれているのでしょうか。ピンとこないのです。 けっこう難しいと思うのですがわかりやすく説明できる方はいませんでしょうか。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Pが偽である時、¬Pが真であることの証明
Pが偽である時、¬Pが真であることの証明が分かりません 矛盾律 :「P ∧ (¬P) は偽」の事である。 排中律 : 命題は成立するか成立しないかのどちらか以外は起こらない (http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/ronritoshugo.pdf) Pが偽,¬Pが偽でも、P ∧ (¬P) は偽なので、上の定義の矛盾律には違反していない Pが成り立っていないで偽、¬Pが成り立っていないで偽で排中律も違反していない どうやったら証明が可能でしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Ｐ＝Ｔ、Ｑ＝Ｆの時 Ｐ∩Ｔ＝Ｆ の意味を教えてださい。
初めて質問いたします。 金融工学を勉強しようと思い、その基礎として数学を勉強し始めたのですが、 数理論理学と言うのでしょうか？ その考え方が全くイメージできずに困っています。（初歩的な質問で申し訳ございません。） (1)Ｐ＝ＴでＱ＝Ｆの時 Ｐ∩Ｔ＝Ｆ？（ＰでありかつＴであることは偽？） どう考えたらよいのでしょうか？ また、 (2)Ｐ＝Ｆ Ｑ＝Ｔの時 Ｐ→Ｑ＝Ｆ？（ＰならばＱは偽？） これもどういうことなのでしょう？ 集合と同じように考えて、Ｐが全部真であり、Ｑが全部偽であり、その重なっている部分が偽？ そもそも重なることはないのでは？ ひょっとして「Ｐであり、なおかつＱである」命題はあり得ないと言う意味で偽なのでしょうか？ (2)も同様に考えて 命題「ＰならばＱ」はそもそもＰが偽なので、Ｑが真であることはあり得ない、だから偽と考えるのでしょう？ 本当に初歩的で済みません。 どなたか、丁寧にその考え方やイメージを具体的にお教え願えますでしょうか？ 宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 次の命題の真偽を判定し、真ならε-ｎ0論法を用いて示し、偽のときは判例
次の命題の真偽を判定し、真ならε-ｎ0論法を用いて示し、偽のときは判例を挙げてください。 lim[n→∞](an)^2=1ならばlim[n→∞](an)=1またはlim[n→∞](an)=-1である。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 真理表っておかしくないですか？
pが偽、qが真か偽のとき、p→qは真となる話です。 ある本に「給料をもらったら、プレゼントを渡す。」とすると、 給料をもらっていない時、プレゼントを渡そうが渡さなかろうが、約束を破っていないので真だ。と書いてあります。 なぜでしょう？給料をもらった時の話はしてませんよね？なのに真？命題というものが真偽の判定が出来るものであり、偽ではない、だから真？命題として不完全なだけでは？ いくら考えても答えが出ません．．． 上の話を真にさせる決定的ものはなんなのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
恣意的に「Pが偽の時、「PならばQ」が真になる」論理学を 採用するということですね。 ユークリッド幾何で平行線の公準を採用するように。 となれば非ユークリッド幾何のように、「Pが偽のとき、「PならばQ」が偽」の 論理学を組み立てても良さそうですね。 紹介してくれた本にもあたってみます。