今更聞けない「PならばQ」の考え方

質問

甥っ子に質問され明確に答えられません、
P→Qの真偽について、P,Qに変数が入った場合、どうなるのか？

例１
P:x=3　Q：x^2=9　でP→Q　の真偽を考えるとき　
これは任意のxについて考えるものなのでしょうか？　この場合x=3が真の時x^2=9も真なのでP→Qは真。x=3が偽の時はQの真偽に関係なくP→Qは真なので、全てのxについて　P→Q　は真といえますが、
例２
P:x=3　Q：x^2=10　でP→Q　の真偽を考えるとき
x=3が真なら　x^2=10は偽で　P→Qは偽になりますが、x=3が偽なら　Qに関係なくP→Qは真。
これは真偽が不明ととらえるのでしょうか？　それとも任意のｘで真とならないので偽ととらえるのでしょうか？

私自身はこれまであまり深く考えなく、P→Qを　if P then Q　ととらえてましたので、「Pは真と仮定して」が暗黙のうちに隠されていると思ってました。すなわち　P→Q　は　（Pが真）で　P→Q　を考えていましたが、皆さんはどうなんでしょうか？

回答No.25

eclipse2maven · ベストアンサー

＃２４　MagicianKumａさん

＞それで良いですよね

いいとおもいます。

お礼

了解しました。

回答No.26

中村 拓男（@tknakamuri）

>x=3　⇒　x^2=10　の真偽を考えるとき、
>本当ならxの範囲をしっかりと決めた上で、
>その範囲内の全てのx について考えるのが本当だけど、
>x=3が成り立たない範囲では、
>x^2=10に関わらず真になるので、
>考える重要性があまりない。
>なので、x=3が成り立つところだけで考えれば十分（高校生としては）。
>言い換えると、p ⇒ q　のpが真と仮定して考えたのと
>同じ答えになるんやね。とのたまっていますが。

文句のつけようのない正確な理解ですね。

釈迦に説法という気がしますが、ひとつ補足すると
今回の例では x=3 という一点を調べるだけなので
Pの真偽からP→Qが導けますが、P が真の範囲が一点では
無い場合はQの真偽はその範囲の中でくまなく調べる必要があります。

つまり、
>「xの範囲をしっかりと決めた上で、
>その範囲内の全てのx について考える」
というのが重要になってくるわけですよね。

このときおっしゃるとおりxの調査範囲は P(x)が真になる
範囲で十分で、これが

くまなく例外がないか調べる　＝　全称命題の真偽を判断する

ということになります。

数学の設問のかなりのものは全称命題の真偽を問うている
考えて問題ないと思います。

お礼

主参加のお二人の同意が得られたので、ログを閉めたいと思います。
お二人にベストアンサーつけたいのですが、単純に多く回答いただいた、eclipse2mavenさんに
したいと思います。tknakamuriさんにもお礼を改めて申し上げます。

回答No.24

eclipse2maven

＃２３　Caperさん

＞。もし、まちがっていましたら、あやまります。知ったかぶりをして、ごめんなさい。

いえいえ、いろんな回答があったほうが、質問者さんの甥子さんにも勉強になるでしょう。

正しいか　正しくないかは　他の論理学の詳しい方にお任せするとして、（＾＾；

私が言いたいのは、実数に限定されてしまうということです。　今はたまたま高校生で、実数のコンテキストで読んでいるでしょうが、　先に述べた数でも成り立つ内容であり　また　Xをシンボルと扱って別の解釈も実はあります。だから限定してしまうのは、あまり賢い理解の仕方とは言えないし、やっぱり高校生が理解するあり方としては、理解を歪めてしまうというべきか。

これから、先に進んだときに、実用にたえないというか。。。
C言語で組むのと個々にプログラム書くのと　オブジェクト指向のＪａｖａやRubyで一回で済ませるちがいとでもいうか。。。（ちょっと、たとえが悪いかなあ）

なるべく用語を増やさずにその中で処理する方が、解釈がはいらなくて。　いろんな解釈に対して、使った議論が適用できるわけです。このへんは一つの数学らしさになるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。甥にこのログを全て読ませてみました。
「ひょぇ～」が第一声です。
結論として甥の理解は、
x=3　⇒　x^2=10　の真偽を考えるとき、本当ならxの範囲をしっかりと決めた上で、その範囲内の全てのx
について考えるのが本当だけど、x=3が成り立たない範囲では、x^2=10に関わらず真になるので、
考える重要性があまりない。なので、x=3が成り立つところだけで考えれば十分（高校生としては）。
言い換えると、p ⇒ q　のpが真と仮定して考えたのと同じ答えになるんやね。とのたまっていますが。
それで良いですよね。（だんだん逃げ腰になる叔父でした）

回答No.23

Caper

● eclipse2maven さん、はじめまして。よろしくお願いします。

● eclipse2maven さん は「 真理集合はなぜ実数なのでしょうか … 」とご質問されました。

　 例 1 の私の答案は、まちがっていましたでしょうか … 。もし、まちがっていましたら、あやまります。知ったかぶりをして、ごめんなさい。
　 それと、恥ずかしながら、「 ハミルトンの 4 元数 」「 有限体 」「 p 進体 」について、私は知識を全然持っていません。
　 変域を複素数全体の集合としなかった理由をお尋ねでしたら、説明する上で、楽をしたかったからということです。

● 私の回答の中で、ほかに怪しい個所は、ございますでしょうか。ご指摘いただければ、さいわいです。私は高校数学も満足に理解していないという程度です。ご指摘に対して、応答できない場合もございます。その場合は、ご容赦ください。

お礼

回答ありがとうございます。どんどん割り込んでください。

回答No.22

eclipse2maven

＞＃２１

Caperさん　はじめまして。

質問なのですが、 真理集合はなぜ実数なのでしょうか？

複素数　や　ハミルトンの4元数　あるいは　有限体　p進体　では　いけないのでしょうか？

回答No.21

Caper

● ごめんなさい。突然、おじゃまして … 。

　 みなさんは少しむずかしくお考えすぎになっているように、私は思います。MagicianKume さん が提示なさいました 例 1 と 例 2 は、いずれも「 ( 数直線上における ) 真理集合がどのようになっているか 」ということを問うているのではないかと、私は思います。
　 さしでがましい発言を、お許しください … 。

● 例 1 ( x の変域は実数全体の集合であるとします。^c は補集合を意味する記号であるとします。 )

　 P(x): x = 3
　 Q(x): x^2 = 9

　 {x| P(x)} = {3}
　 {x| Q(x)} = {-3, 3}

　 {x| P(x) → Q(x)} = {x| ￢P(x) ∨ Q(x)} = {x| P(x)}^c ∪ {x| Q(x)} = {x| x は実数全体の集合}

　 よって、P(x)→Q(x) の真理集合は、実数全体の集合です。( よって、この真理集合は変域と等しいので、「 すべての x について P(x) → Q(x) である 」という全称命題は真になります )

● 例 2 ( x の変域は実数全体の集合であるとします。^c は補集合を意味する記号であるとします )

　 P(x): x = 3
　 Q(x): x^2 = 10

　 {x| P(x)} = {3}
　 {x| Q(x)} = {-√10, √10}

　 {x| P(x) → Q(x)} = {x| ￢P(x) ∨ Q(x)} = {x| P(x)}^c ∪ {x| Q(x)} = {3}^c

　 よって、P(x) → Q(x) の真理集合は、{3}^c です。

● 私はそこつ者です。以上の記述が的はずれである場合は、ひらにひらにごめんなさい。

回答No.20

eclipse2maven

P（X）　＝＝＞　Q（X）　を　　F（X）　とおいてるのを　書くのをわすれました。

ただ、こういう定式化を　聞きたかったのかなあ、　作った例題が　xを含んだことで、余計に問題をこじれさせて、
本当に聞きたいことを、ねじれさしてしまった気がしないでもないが。。。

私は素朴に　Pが偽の場合も　P＝＝＞Q　の真偽で考えないといけないことに、おどろいて、なぜ普段は考えないのか？
って、疑問で　xを含んだ例を出してきて、それが別の問題をはらんでいて、状況が余計ややこしくなった気がするんだけどなあ。

お礼

全員に返事がだせなくてすいません。改めて回答者全員にお礼申し上げます。

ことの発端は、甥が妹から次のようにいわれたことから発展しました。
「お兄ちゃんがレギュラーになれるんだったら、私は大女優になれるわ。」といわれ、ひどくない？　といったので、
私：「日常会話で使われる強調の論理やね。」甥：「どういう意味？」
私：「ｐ⇒ｑの真理値表ってわかるか？その中で偽⇒偽は真やろ？」甥：参考書みながら「そうやね。」
私：「で、私は大女優になれるわ。はかなり無理そうやろ。妹もそう思ってるはずや。」
私：「で、全体の主張が正しくなるためには、前半の主張が嘘でないといけんやろ？」甥：「おれがレギュラーになれるという部分のとこ？」
私：「そうそう。前半よりもっと嘘っぽいことを後半に持ってきて、前半ならば後半と主張するんやね。その心は前半のを否定を強調したいためや。」
私：「クジラが空を飛ぶなら、俺は千年生きられる。はおかしくないやろ？」
甥：「強調って、そういうことか！」

というわけで、命題の真意が常識的にわかる場合はいいのですが、教科書に出てくる変数が入った場合はどうなるの？で表題の質問になったわけです。なので、必然的にｘを含んだ例になったわけです。
変数を含まない命題の場合は、甥なりにちゃんと理解しているように思われます。

回答No.19

eclipse2maven

＞#18

P:x=3　ばらば　Q：x^2=10

は　命題関数として、とらえるのなら　P（X）　＝＝＞　Q（X） (X＝　Pが真, Pが偽)

でしょう。　

だから　命題関数であって、厳密には命題ではない、　すべてのXにおいてF（X）が真　であるとき　真ということで、真偽はとえますから、実際はこちらを問うている。　X＝Pが偽　のときF（X）はいつでも真だから　あえて問わなくてよい。ただし　X＝Pは真　がないケースもある　って　ところなんでしょう。

ただ、いっぱい　ならば　が　隠れてる感じでして、よけいに複雑してる気がしなくもないですが。。。　あえて命題関数という概念を使えばです。　まあ　ほかの　ならばの　真偽を問うてるわけではないので、問題はないですが。。。。

回答No.18

中村 拓男（@tknakamuri）

そういえば No,6 のお礼に対して回答していなかったので
私なりに回答すると

(1), (2) は本質的に同じものだと思います。
解釈としては　(1), (2) を支持します。

(3) は解釈としてはありえますが、命題関数の
真偽を問うなら、具体的なパラメータを与えて
問うでしょうから、そうでないなら不支持です。

結局、(1), (2), (3)はどれも間違っているわけではありません。
言葉の解釈のぶれの問題です。

回答No.17

中村 拓男（@tknakamuri）

私も eclipse2maven さんの論点は (3)なのかなと思ってました。
No.5 以降を読む限りでは・・・

回答No.16

boiseweb

> #14

> あのー　わたしそんなこといってませんが。。。

失礼しました．eclipse2maven さんの回答 #11 の立場を正確に言い表すなら

(3') x に値を代入するごとに真偽が決まる． x=3 のとき偽，その他のとき真．

となるでしょうか．
そのうえで，(3') の立場についても，私は不支持です．理由は #13 で尽きています．

ところで，あらためて eclipse2maven さんの回答 #10 を読んで

>それか、全てのx（かりに実数全体）で　成り立つかは　命題になりますが　これは別の命題になります。

という記述に気づきましたが，私の意見は，
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それを「別の命題」とみなすのではなく，そっちのほうを標準の解釈にすべし．
つまり，x についての述語を「ならば」で結んだ文は「『すべての x について』を関した命題」と解釈すべし．
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ということです．