• ベストアンサー

Pが偽である時、¬Pが真であることの証明

Pが偽である時、¬Pが真であることの証明が分かりません 矛盾律 :「P ∧ (¬P) は偽」の事である。 排中律 : 命題は成立するか成立しないかのどちらか以外は起こらない (http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/ronritoshugo.pdf) Pが偽,¬Pが偽でも、P ∧ (¬P) は偽なので、上の定義の矛盾律には違反していない Pが成り立っていないで偽、¬Pが成り立っていないで偽で排中律も違反していない どうやったら証明が可能でしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

本当は「命題論理」では「真」とか「偽」とかいうのを使わずに、推論規則を用いて『証明』するのですが、まあそれはいいとして: そこのpdfの「否定」のところに、何と書いてありますか?

その他の回答 (1)

回答No.2

質問者様が貼っているリンク先のpdfを拝見しました。 そこに、「 否定 命題 P に対し「P でない」も命題であり P は偽のとき「P でない」は真 P は真のとき「P でない」は偽と定める。 「P でない」を ¬P と書く。 」とありましたので、これは定義ではないですか?

関連するQ&A

  • 論理学に関する質問

    この二つの定義のどちらも正しいとすると矛盾が生じるのは何故ですか? (恐らく自分が何か間違えていると思うのですが、何が悪いのか分かりません) 1 .排中律の言葉による定義 : 命題は成立するか成立しないかのどちらか以外は起こらない。 2 . 排中律の論理式による定義 : 「P ∨ (¬P) は真」の事である ソース : http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/ronritoshugo.pdf 説明 ∨の定義 : 与えられた複数の命題のいずれか少なくとも一つが真であることを示す論理演算(https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%92%8C) ∨の定義によって、P ∨ (¬P) は真を満たすためには、Pか¬Pが真であればよい よって、Pが真であって、¬Pは偽ではなくうんこだと仮定しても、P ∨ (¬P)は成り立つため、2の排中律の論理式による定義に違反はしていない しかし、1の排中律の定義には違反している よって二つの定義が正しいとすると矛盾している 先にこれから言われそうなことに対して質問しておきます 1 . 命題には、真か偽しかない そのため、偽でもないうんこというものがあるのはおかしい 1の質問 : 命題には真か偽しかないのであれば、排中律がある意味は何ですか? 2 . Pが真であるとき、¬Pは偽であるから、うんこではない 2の質問”Pが真であるとき、¬Pは偽である”が正しいといえるのは、何故ですか?

  • 命題「PならばQ」でPが偽ならば、命題は真?

    命題「PならばQ」で、Pが偽のとき、Qの真偽に関わらず 「PならばQ」が真になるのが、納得できません。 よい説明がありましたらお願いします。

  • 論理学に関する質問

    1 . 排中律や矛盾律は総称して何と呼ばれていますか?(名称を知りたいだけです) 2 . 排中律や矛盾律は、証明ができるものでしょうか? それとも公理や定義に近いものですか?

  • 命題「PならばQ」が偽のとき、その対偶も偽であることを証明せよ

    命題「PならばQ」が偽のとき、その対偶も偽であることを証明せよ という問題がわかりません!! 教えて下さい!!

  • 対偶による証明法と背理法による証明について

    数学Iの内容なのですが自分の使っている参考書に 対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る。 命題p⇒qが真であることをいうために¬qと仮定して¬pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。 でも¬q⇒¬pとは文字通りこれは対偶のことで、これが真と言えたから 自動的に元の命題が真といってもいい と書いてあるのですが、色々な所で質問してみたのですが どうしてもあまり理解ができません。 (1)命題p⇒qが真であることをいうために¬qと仮定して¬pが導かれたとする 導かれた形は¬q⇒¬p 背理法の仮定の形では¬q⇒p (2)pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる この導かれた形が¬q⇒¬pで命題の対偶の形をしていて それによっても命題が真であることが示されているから 対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る、と書かれているのでしょうか?

  • 背理法の定理を排中律から証明できません。

    よろしくお願い致します。 先ず、 Pを命題とし、「→」は含意を表す。 Pが真→¬Pは偽 Pが偽→¬Pは真 Pが否定の否定が真ならばPは真 Pが否定の否定が偽ならばPは偽 Pが真であるか,またはPの否定が真であるかのいずれかである. が成立しているとします。 これらから背理法が正しい事を証明したくと思ってます。 先ず、「矛盾」の定義はP∧¬Pが真となる事です。 ですから P→Qが と (P→¬Q)∧¬(P→¬Q) の真偽が等しくならなければ背理法が正しい証明法とはいえません。 つまり、 P→Qを示したい((P→Q)=true)時、代わりに ((P→¬Q)∧¬(P→¬Q))=true を示す事である。 しかし、 ((P→¬Q)∧¬(P→¬Q))は (¬P)∨(¬Q)∧¬(¬P∨¬Q)と書け、更に ¬(P∧Q)∧(P∧Q) でこれは自動的に恒偽命題となってしまい、 P→Qと真偽が一致しません。 とい事はP→Qを示すのに背理法 ((P→¬Q)∧¬(P→¬Q))=trueが使えなくなってしまいます。 一体、何処を勘違いしていますでしょうか?

  • 背理法による証明と対偶による証明法について

    自分の使っている参考書に 「対偶による証明法も一種の背理法と考えることができる。 命題p→qが真であることをいうために ̄q(qでない)と仮定して ̄pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。 でも ̄qならば ̄pとは文字通り、これは対偶のことでこの対偶が真といえたから自動的に命題が真といってもいい」 と書かれているのですがいまいち意味がわかりません。 どういうことなのでしょうか? 数1の内容なのですがあまり数学が得意ではないので簡単に教えていただけると助かります よろしくお願いします。

  • ∃x∀y(P(x)→P(y))の証明

    ∃x∀y(P(x)→P(y))を演繹によって証明したいのですがなかなか解けません。 ∃x¬P(x) ∨ ¬∃x¬P(x) LEM(排中律) から証明を始めて解くらしいのですが・・・・・証明はどのようなものになるのでしょうか?お願いします

  • 「PならばQ」の真理関数表は言語とは無関係ですか?

    P→Qの真偽について下のように定義すると言われます。   P  Q  P→Q 【1】真 真  真 【2】真 偽  偽 【3】偽 真  真 【4】偽 偽  真 これは日常の言語(命題)の真偽とは無関係に定義した、形式的なパズルのようなもの、と理解してよいのでしょうか? 日常言語に対応させると、おかしなことが生じるようです。 たとえば、Pを4の倍数として、Qを2の倍数とすると、 ------------------ 【1】4の倍数ならば、2の倍数である。 ・・・これは全面的に真 【2】4の倍数ならば、2の倍数でない。 ・・・これは全面的に偽 【3】4の倍数でないならば、2の倍数である。 ・・・これは部分的に真かつ部分的に偽。2、3、5、6、7、9、10などは2の倍数の時もあるし、2の倍数でない時もある。 【4】4の倍数でないならば、2の倍数でない。 ・・・これも部分的に真かつ部分的に偽。2、3、5、6、7、9、10などは2の倍数の時もあるし、2の倍数でない時もある。 ---------------------- 【1】が真で、【2】が偽であることは分かります。分からないのは【3】と【4】です。 もし【3】が真な命題なのであるとしたら、【3の対偶】も真であるはずです。 ------------------- 【3の対偶】2の倍数でないならば、4の倍数である。 ・・・これは明らかに間違っていて、偽です。 ------------------- 日常言語と関係させるのがそもそもの間違いなのでしょうか? 真理関数表は日常の言語(命題)の真偽とは無関係に定義した、形式的なパズルのようなもの、と理解してよいのでしょうか?

  • 対偶を示して証明する背理法について

    対偶証明法も背理法の一種と考えることが出来る。 という考え方があるのですが それで、その理由について 「命題「pならばq」を証明する過程で、「¬qならば¬p」が証明できたとする。 命題を背理法で証明するために「pならばq」を否定して「pかつ¬q」。 証明されている「¬qならば¬p」はpではないので 「pかつ¬p」となり矛盾。 背理法が成立して「pならばq」は真となる。 対偶法なら 「命題「pならばq」を証明する過程で、「¬qならば¬p」が証明できたとする。」の段階で自動的に命題が真といっていい。」 という説明があるのですが 自分は 対偶証明法は 対偶を示して証明する形式の背理法と 「対偶を示して証明する」という流れが同じなので 対偶証明法も 見方によって 「対偶を示して証明する形式の背理法」と考える事が出来るので そういう意味で 「対偶証明法も背理法の一種と考えることが出来る」 ということになる、と 理解したのですが この考え方は間違っているのでしょうか?