円錐の体積の求め方について

質問

円錐の体積はなぜ円柱の体積に３分の１をかけるとでるのでしょうか。

回答No.3

htms42 · ベストアンサー

こんなサイトがありました。
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu1.shtml

円柱の体積、球の体積、円錐の体積の比率はギリシャ時代には知られていたようです。
きちんと求めるには微分・積分の考えが必要であるという事があるとしてもやはり知りたいですよね。

三角錘、四角錘の体積が三角柱、四角柱の体積の１／３になるというのは幾何的に求めることができます。
あちこちのサイトに求め方は紹介されていると思います。
その結果を使います。

（１）三角錘とします。
底辺は三角形です。横から見ても三角形です。
半分の高さのところで切って断面を考えれば横幅は半分になっています。断面の形は底辺に相似形の三角形です。面積は１／４になっています。どの高さのところで切っても相似形になります。高さが分かれば面積が分かります。底辺の三角形の面積を２倍にしたとします。任意の高さで切った断面の面積ははじめの２倍になっています。

（２）この関係は四角錘でも同じです。どの高さで切っても相似な四角形が出てきます。高さが半分のところで切った切り口の面積が底辺の面積の１／４というのも同じです。

（３）こう考えると同じ高さの角錘の体積の違いは底辺の図形の形と面積の違いによって生じる事になります。
また底辺の図形の形が違っても面積が同じであれば体積は同じになるだろうということも分かります。
どの高さで切っても出てくる図形の面積が等しいのですから体積もひとしいだろうということです。

（４）円柱と円錐の関係もこれで出てきます。
どの断面で切っても円が出てきます。高さと共に断面の面積が変化する割合は三角錘の時と同じです。
高さが同じで底辺の面積が等しい、三角錘と円錐は体積が等しいです。どの高さで切っても出てくる三角形と円の面積が等しいのですから。１／３というのは共通です。

たくさんの鉛筆を並べて長方形を作ったとします。
その鉛筆を少しずつ横にずらしていくと図形が変わります。でも面積はどれも初めの長方形の面積と同じです。
平行四辺形のような直線の図形でなくても成り立ちます。
これを体積についても考えた事になります。
（３）で「どの高さで切っても出てくる図形の面積が等しいのですから体積もひとしい」としたところです。

切り口の断面で見るというのは細かい部分に分けて考えるというのとおなじだから微分とか積分の考え方だと言う人が出てくるかもしれません。でもニュートン以前にこういう考え方はされていたのです。
ニュートンもこういう風な考え方を踏まえていたと思います。
もっと一般的に成り立つように数学的に体系化したということだろうと思います。

錘形は横から見れば直線図形ですから比例で考えるというのがやりやすいです。
微分を使わなければ出来ないと言うほどものではないという気がします。
無限小というような考え方がなかった時代のものですからそういう点での厳密さを要求しても仕方がありません。

（小学校の時に遊んだブロックや、タイルがまだ残っていればいろんな図形を作って確かめて下さい。
面積でも体積でも確かめることができます。ブロックの数が同じであれば並べ替えても面積や体積は変化しません。）

お礼

有難うございました。僕でもとてもよくわかるように教えてもらってうれしかったです。何となく数学が少しおもしろいなあと思いました。

回答No.4

htms42

＃３です。
字が間違っていました。
三角「錘」は三角「錐」です。

回答No.2

Kurasaki

中学生なら1/3をかけるという事実だけを、知識として知っているだけで十分過ぎます。

なんで1/3をかけるかを聞いてくる問題なんて中学範囲では(絶対)ない

なぜ1/3をかけるか説明するとしたら、自分は微積を使わないと説明できない、それは自分だけじゃないと思う。

しかも中学生でそんな裏知識知る必要ないでしょ

あと、そういう疑問や知識を学ぶために高校とか大学に行くんでしょ

お礼

有難うございました。また高校で勉強したいと思います。

回答No.1

Kurasaki

数IIIを学習しているなら、積分の体積の分野で習うよ

すごい簡単に証明できる

お礼

有難うございました。

補足

僕は中学1年生です。円錐や角錐の体積をもとめる時に、なぜ３分の１をかけるのか教えて頂けませんか。