有効数字って何？教科書の説明に疑問が生じました
- 中学1年の東京書籍で学習している新しい数学の教科書の中で、有効数字に関する説明に疑問が生じました。
- 教科書では、四捨五入の例として７が６になることもあると述べていますが、１と３が有効数字であり、７は違うと感じました。
- この疑問について、教科書が間違いではないかと疑っています。
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有効数字（中学1年 東京書籍）
東京書籍 新しい数学 １年 プラス２２のｐ３８に 「ある品物の重さを最小の目もりが１０ｇであるはかりではかったところ、１３７０gだった。この測定値は十の位未満を四捨五入したものである。したがって、この品物の重さは丁度１３７０gであるというわけではない。つまり、１３７０の千、百、十の位の１、３、７は信頼できるが一の位の０はたんに位を示しているだけで信頼できない。近似値を表す数字のうち、例のように１，３、７のように、信頼できる数字を有効数字という。」とあります。しかし、 ７は四捨五入して６が７になる時もあるので、（実際は、１３６９ｇだった時ののように）１、３が有効数字で、７は違うと思うのですが？ まさか、教科書が間違うわけないと思うのですが・・・
- hasibutoka
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十の位未満を四捨五入して、1370gになった、ということは、アナログのはかりの場合なら… 針は、必ず、1360gと1380gの間にあって、３つの目盛り・1360g,1370g,1380gのうち、1370gに一番近かった、だから、どのくらいという代表の値としては、一番近い、1370gを選んだ、 というような意味になります。 デジタルのはかりで、1367.8gと出たときでも、何か1g単位までは信用できないなぁ、と思ったとき、十の位の6を信頼して、約1360gというより、もっと近い約1370gという方が、もっとアテにできる気がするでしょう？もっと、極端なケースで、1369.8gなんて出た場合には、十の位の6なんか、アテにできるのか？本当は、1370.2gかもしれなし、という気がしませんか？ そういう意味で、十の位の「アテになる」値として、7を使い、それを「信頼できる数字」というふうに呼んでいて、この「数字」は、デジタルのはかりで表示された「数字」とは別のものなので、そこを気を付けてください。 ただ、四捨五入の場合、ピッタリ真ん中だと、どっちに近いと言えないんじゃないの、という問題があり、本当にそうなると、悩ましいのですが、モノの計測をやっていて、本当のピッタリ真ん中なんて、滅多にあるものじゃない、と決めて(実際にそうなのですが)、扱いやすさを考え、(ピッタリ真ん中の場合も含め)5が出たら、切り上げということにしてあります。こういうと、何かいい加減みたいですが、よほど特殊な場合でなければ、それが元で問題が起こることはありません。
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- alice_44
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ただ測定して、表記して、それで終わりなら、 A No.5 の理解でよいし、その意味では A No.1～3 のようにも言えるでしょう。 しかし、「東京ドームの面積を求める」など、 計算がはいると、有効数字は誤差評価をしない 近似値であることがハッキリしてきます。
お礼
更なる、回答ありがとうございます。 ちなみに、東京書籍の方から、下記のような返答もいただきました。 参考までに・・・・。 1370の70は，65g以上75g未満の間にあるという意味を含んでおります。このことから，7という数字は，意味のある数字（有意義な数字）であるということになり，その意味から信頼できる数字（有効数字）という表現をしております。また，学習指導要領解説にも，「信頼できる」という表現がございますので，それに基づいております。さらには，「算数・数学指導事典（教育出版センター 1985 赤攝也監修 仲田紀夫編）」に，「有効数字は，信頼される数字であるが，最後の数字は端数の処理を受けるのでいくらか誤差をともなう。しかし，誤差の限界を指示することによって，最後の数字も他の数字と同じ信頼性をもつことが保証される」とあります。「信頼できる数字」という表現が一般的な意味として「正しい数値」や「真の値」などというふうに捉えられるのではないかと思います。しかし，数学での「信頼できる数字」とは，「意味のある数字」や「有意義な数字」という捉え方をしています。
有効数字はこの際概数と合体させて，算数の「量と測定」領域で扱うべきだと思います。
お礼
算数だと沢山の問題を解いていくなかで、規則性のようなのを勉強して理解していくところがあるのでイイかもしれませんね。 東京ドームの面積を求めるような問題を解いた覚えがあります。そのときも、どこの位まで四捨五入したらいいのか、悩んだ記憶がありました。
結論から言えば，真の値は1365～1375 g であること。
- alice_44
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有効数字は、信頼できる数字でも、アテになる数字でもありません。 概数の計算をする場合、加減算なら有効数字の位置を合わせて、 乗除算なら有効数字の個数を合わせて、答えの有効数字を決めますが、 その結果、概数の誤差は、有効数字の末位の±１以内ではなくなります。 有効数字については、少なくとも何らかの意味がある数字のこと ぐらいに捉えておくほうが無難です。 数学的な裏付けを持たない、慣習的な誤差評価の体系で使う用語ですから。 それに対して、１３７０の０は、桁の位置を示しているだけで、 数字０としての意味を全く持っていません。
お礼
何らかの意味がある数字とは、漠然としていますね。漠然とした数を扱うので、慣習的なものとして取り組んだほうがいいようですね。 数字としての意味を持っている数字が有効数字だ ぐらいで取り扱えばいいですね。 ありがとうございます。
- momiziiro
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有効数字って言うのは 例えば普通の15cm物差しだったら1mmまでは測れますよね。 例えば9.98cmの物を測ったとしても10.0cmとしか測れませんよね この10.0cmというがその物差しで測れる信頼できる値なんですよ。 で、その信用できる値って言うのが9.5,9.6,9.7,9.8,9.9,10.0,10.1…って飛び飛びなんですね その値の中でその物の長さに一番近い物をその長さだと信頼してやるわけです。 (ここの10.0の最後の0も信用できる値です) 逆に9.98cmだとこの物差しは1mm単位でしか測れないので信頼できない値なんです。 (そもそもこの物差しだと9.98なんて分かりません) 同様に10gずつしか量れない量りでは1370gは1365～1374を代表する信頼できる値なんですよ なので最後の7はこの量りで量れるもっとも信頼できる値という事です。 最後の0はこの量りは1g単位を量れませんから信頼できない値という事です 結構いい加減な事いってますがイメージはこれでいいかと
お礼
1370gは1365～1374を代表する信頼できる値 「信頼できる値」だけだと、疑問が浮かぶのですが、「代表する信頼できる値」なら、納得できます。 「有効数字」なんて、難しそうな言葉にしないで、「代表する信頼できる値」にすれば，分かりやすいのに・・・・・・。 ありがとうございました。
結論から申し上げると、教科書が合っています。 1, 3, 7 のうち、1, 3 は文字通り「信頼できる」数字であり、7は測定値がある範囲に入っていることを示す「信頼できる」数字です。 例えば、測定値が 1380 g だったとすると、品物の重さは 1375 g 以上 1385 g 未満ということになります。これは、測定値 1370 g が意味する範囲(1365 g 以上 1375 g 未満)とは異なりますね。つまり、十の位の 7 は、品物の重さの範囲を指定する上できちんと役割を果たしており、意味のある数字です。これも有効数字に含まれます。
お礼
測定値がある範囲に入っていることを示す「信頼できる」数字 これなら、７も入っていることが納得できます。 範囲に入って入ることを示す、示すが重要ですね。 ありがとうございました。
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