数学 関数

質問

関数　f(x)=xの二乗-px+2pの最小値が３より小さくならないように定数ｐの範囲を求めなさい

最小値が３だから３を代入すればいいのですか?

解説お願いします(>_<)

回答No.4

WiredLogic

問題の解き方自体は、皆さんが説明なさってる通りですので、
２次式・２次関数の最小値の求め方を説明します。

ax^2 + bx + c = a(x+何とか)^2 + かんとか、と変形できて、
xがとる値が実数と決まっていれば、(～)^2 は、必ず0以上なので、
a(x+何とか)^2 は、aがプラスなら、必ず、0以上、aがマイナスなら、必ず0以下、
それで、abの正負によって、式全体は、かんとか以上（または以下)になります。

ポイントは、何とか、や、かんとか、に、xを含んでいてはいけない、ということ。
入っていると、例えば、かんとか以上と答が出ても、そのかんとかが、xの値が
変わると、変わっていくのでは、これが最小値、と特定できません。

この場合、元の式が、f(x) = x^2 - px + 2p ですから、a(x+何とか)^2 の部分を、
x^2 - px の部分を使い切って作ればいい訳です(でないと、かんとかにxが入る)。
特に、この場合、aが1(正の数)なので、計算は簡単。

(x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2 を考えて、x^2 - px と比べると、2d と -p が同じで
ないと困るので、d = -p/2。すると、(x-p/2)^2 = x^2 - px + (p/2)^2 となって、
x^2 - px の部分は、解決、ただ、これだと、(p/2)^2 の部分を足しすぎているので、
x^2 - px = {x^2 - px + (p/2)^2} - (p/2)^2 = (x - p/2)^2 - (p/2)^2、

これで、x^2 - px + 2p = (x - p/2)^2 - p^2/4 + 2p と、皆さんが指摘された式が
でてくる訳です。２乗のことを平方ともいうので、この２乗の形をつくる手法のことを
「平方完成」といいます。２次方程式の解の公式を導き出したり、２次関数の、頂点
や軸、最大・最小などを求めたりするのに、必要な手法ですから、教科書などでも
よく確認して、身に付けてください。できれば、名前ごと。