収束域

質問

次のべき級数の収束域を求めてください
(1)Σ(n=1→∞）(-1)^n(1/(2n+1)^x^2n+1)
(2)Σ(n=1→∞）(1/n！)x^n
(3)Σ(n=1→∞）((n！)^2/(2n)！)x^n
(4)Σ(n=1→∞）(-1)^n(1/log(n+1))x^n

過程も含め教えてください
申し訳ないんですが、至急お願いします。

回答No.1

info22_

(1)
>Σ(n=1→∞）(-1)^n(1/(2n+1)^x^2n+1)
Σ(n=1→∞）((-1)^n)(1/(2n+1))x^(2n+1)
の間違いでは？

そうなら
lim(n→∞)|a[n+1]/a[n]|
=lim(n→∞){(2n+1)/(2n+3)}x^2
=lim(n→∞){(2+1/n)/(2+3/n)}x^2
=(2/2)x^2
=x^2<1
∴ -1<x<1

(2)
>Σ(n=1→∞）(1/n！)x^n
lim(n→∞)|a[n+1]/a[n]|
=lim(n→∞){n!/(n+1)!}|x|
=lim(n→∞){1/(n+1)}|x|
=0<1(常に成立)

∴ 全ての実数x (|x|<∞)

(3)
>Σ(n=1→∞）((n！)^2/(2n)！)x^n
lim(n→∞)|a[n+1]/a[n]|
=lim(n→∞) [{((n+1)!)^2*(2n)!}/{(n!)^2*(2n+2)!}]|x|
=lim(n→∞) [{((n+1)^2)}/{(2n+2)(2n+1)}]|x|
=lim(n→∞) [{((1+1/n)^2)}/{(2+2/n)(2+1/n)}]|x|
=lim(n→∞) [{(1+1/n)}/{2(2+1/n)}]|x|
=(1/4)|x| <1

|x|<4
∴-4<x<4

(4)
>Σ(n=1→∞）(-1)^n(1/log(n+1))x^n
lim(n→∞)|a[n+1]/a[n]|
=lim(n→∞) {log(n+1)/log(n+2)}|x|
=lim(n→∞) {(n+2)/(n+1)}|x| (ロピタルの定理適用)
=lim(n→∞) {(1+2/n)/(1+1/n)}|x|
=|x| <1

∴ -1<x<1