命題と論理の問題（数学）について

質問

写真の通りです

回答No.1

noname#137826 · ベストアンサー

[答え]
P ⇒ Q が真、Q ⇒ P が偽、ということは P は Q であるための「十分条件」です。

[P ⇒ Q が真の証明]
x と y がともに有理数ならば、x = a/b, y = c/d (a,bは互いに素な自然数。c,dも同様) と表すことができます。したがって、(xy)^2 = (ac/(bd))^2 も有理数です。つまり、not Q ⇒ not P は真です。ゆえに、対偶であるところの P ⇒ Q も真です。

[Q ⇒ P が偽の証明]
x = √2, y = 1 の場合に (xy)^2 = 2 が有理数となる反例があるので偽。
(正確には√2が無理数であることを証明する必要があります。参考URL等をご覧ください。)

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1411507019