- ベストアンサー
双曲線の問題
原点から、双曲線x^2+8xy+7y^2=225への最短距離を求めよ。 という、問題です。 小テストで出題されたのですが、解法の出だしすら分からず、終わってしまいました。 解説もなく、どのように解いたらよいのか理解できていません。 解答を与えてくださると助かります。 また、この問題を解くためのヒントでも構いません。 宜しくお願いいたします。
- exymezxy09
- お礼率94% (194/205)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数4
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>もう少し、ヒント頂けると助かります。 私の計算ミスのようだ。正しいものを書いとく。 OP^2=x^2+y^2=225(1+m^2)/(7m^2+8m+1) (1+m^2)/(7m^2+8m+1)=k として分母を払い、判別式≧0 から求める。 k≧0は明らかだから(距離だから)判別式は因数分解できて、k≧1/9 以下省略。 それと、極座標がわかったなら必要ないと思うが、解法の1は微分しないでも求まるが、それにしても途中の計算が面倒のようだ。 この方法もいい方法なんだが、この問題にはむいてないようだ。 1つの問題に解法は1つではない事が多いから、引き出しを多く持つ事(視野を広げる事)は絶対に必要な事だ。 普段から、そのように意識して勉強したら良いだろう。
その他の回答 (2)
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
まだあるな。極座標が使える。 x=r*cosθ、y=r*sinθ から条件式に代入すると、r^2=225/(4sin2θ-3cos2θ+4) OP^2=x^2+y^2=r^2=225/(4sin2θ-3cos2θ+4) だから、分母が最大なら 最小になる。 従って、分母を合成して最大値を求めると良い。もちろん、0≦θ<2πの範囲で。 以下、自分でやって。
お礼
ご指導ありがとうございました。 自分的にはこの解法が一番しっくりきました。 おかげさまで、解くことができました。 本当にありがとうございました!
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
問題を見て、ぱっと思いつくのは次の2つの解法。 (解法-1) 双曲線のparameter表示を考える。 条件式は (x+4y)^2-9y^2=225 だから、1+tan^2θ=1/cos^2θを思い出すと(x+4y)^2/225-(3y/15)^2=1より、x+4y=1/cosθ、y/5=tanθ であるから、x=(75-4sinθ)/5sinθ y=5tanθ ‥‥(1) OP^2=x^2+y^2=(1)を代入して三角関数で表示して=sinθの分数関数になるから、0≦θ<2π で微分。 (解法-2) こっちの解法の方が簡単なんだが。双曲線と原点を通る直線を考える。 x=0の時、y^2=225/7 から OP^2=x^2+y^2=225/7 これも解の一部。 x≠0の時、y=mxとして条件式に代入すると、x^2=225/(7m^2+8m+1)であるから、OP^2=x^2+y^2=(225+m^2)/(7m^2+8m+1) この最小値を求める事になるが、微分は要らない。 (225+m^2)/(7m^2+8m+1)=k として分母を払い、判別式≧0 から求める。 そのときのmの値も求める事。
お礼
解答ありがとうございます。 1つ目の解法はsinθへの変形や計算が面倒ですが、なんとかできそうです。 2つ目の解法はmについての判別式を立ててみましたが、kの値がうまく出てきませんでした。解の公式で解いてみても、根号の中がすごく大きな値になってしまうのですが・・・ もう少し、ヒント頂けると助かります。
関連するQ&A
- 双曲線の問題
教員採用試験に向けて勉強中の大学三回生です。 お恥ずかしいことに数学教師を目指していながら数学の問題がわからないので質問させてください。 双曲線の問題です。 焦点の座標が(-1,0),(1,0)であり、漸近線がy=-√3x,y=√3xである双曲線がある。 (1)双曲線の方程式を求めよ。 解答.12x^2-4y^2=3 (2)この双曲線を原点のまわりにπ/3だけ回転してできる双曲線の方程式を求めよ。 解答.8√3xy+8y^2=3 (1)はできました。 (2)がわかりません。双曲線を媒介変数表示して回転行列でやったらうまくいくかと思い試しましたがうまくいきません。 大まかな手順で結構ですのでよろしく御願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 双曲線xy=a >_<!!??
双曲線xy=a(a>0)の接線がx軸、y軸と交わる点をA.Bとするとき、三角形OABの面積は一定であることをしめせ。 この問題わかりません>_<!! 双曲線xy=aと書いてありますけど、双曲線ってxy=aなんてあるんですか???xy=aを変形してもy=a/xなので、双曲線の式に見えません>_<? 私の知ってる双曲線は x^2/a^2 - y^2/b^2 =1 で焦点を求める時は c=√(a^2+b^2)だと習ったのですけど。。。 あと双曲線の図を試しに描いてみて ”接線”と題意に書いてあるので、接するだけの線を 引いてみたのですけど、その時、”双曲線”って右と左に二つの凸放物線が向き合ってると思うのですけど 右と左、どっちに接する線を描けばよいのですか?? 両方接する線は書けないとおもうのですけど。。?? 誰か教えてください、お願いします>_<!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 双曲線 漸近線
こんにちは。「双曲線 漸近線」に関する質問です。 実は、高校物理の問題でバネを使った剛体のつりあいの問題を解いていたら、 Y=a{2+b/(x-b)} ・・・(1) という式変形がでてきて、この式の示すグラフを選ぶ問題なのですが、この後、 「これ((1))は、X=b、Y=2aを漸近線とする双曲線で…」 という表現がでてきました。(aやbは、実際には物理で用いるl(エル)やkですが、数学用に文字を変えました) 数IIIでの双曲線を表す方程式は (x^2/a^2)-(Y^2/b^2)=1 で、漸近線はY=±(b/a)x との公式です。 (1)式はどのようにすると双曲線になるのでしょうか? 本来は物理の問題なので、ここで適切でなければ、「物理学」カテゴリーで質問します。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 双曲線の問題です>_<
双曲線2x^2-y^2=1と直線x-2y+t=0との共有点をP.Qとするとき、線分PQの中点の軌跡を求めよ。 <教科書の解答> 直線x=2上の点 P(2.b)から双曲線へ引いた接線の接点をQ(x0、y0)R(x1、y1)とすると、 2接線の方程式は、 x0x-2y0y=1、x1x-2y1y=1。 これが点Pを通る事より、 2x0-2by0=1 2x1-2by1=1。 一方、QRの方程式は y-y0=(y0-y1)/(x0-x1) ×(x-x0) (2) ここで(1)より、(y0-y1)/(x0-x1)=1/bであるから、(2)は y-y0=1/b(x-x0) ∴y=(1/b)x-(1/b)x0+y0=(1/b)x-1/2b=(1/b)(x-1/2) となり、定点(1/2,0)を通る。 質問です!(1)の式を作るまではわかったのですけど、”一方QRの方程式は~”っていう部分の式が どのようにして出来たのか解りません>_< (2)の式のことです。 (2)の式を見ると、y-y0=(y0-y1)/(x0-x1)×(x-x0)となってるので、 (x-x0)がy0-y1/x0-x1に掛かっているので、もともと左辺にあったもの?と考えたら、 (y-y0)/(x-x0)=(y0-y1)/(x0-x1)という風に式を変形してみて考えても、 元々どのような式から生まれてきたのか解りません! あと、二つ目の質問は、”ここで(1)より~(y0-y1)/(x0-x1) =1/bという部分です。 (1)をどのようにしたら、このようになるのですか??>_<????? 誰か教えてください よろしくお願いします>_<
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 双曲線の式
以前、naetopさんの質問で、Mr_Hollandさんによりy=ax/(b+x)を双曲線式の標準形より導かれたと思います。 Mr_Hollandさんのご回答の中で、下記のとおり式を導出されていますが、 「y-a=-ab/(x+b) ・・・・・☆ となりますので、漸近線がx=-b、y=aで中心が(a、-b)の直交双曲線であることが分かります。 したがって、標準形から導くときは、直交双曲線の標準形から X^2/A^2-Y^2/A^2=1 ⇔X^2-Y^2=A^2 ・・・・・・・・・(A) から、原点を中心に-45°回転させてから、 X'=Xcos45°-Ysin45° =(X-Y)/√2 Y'=Xsin45°+Ycos45° =(X+Y)/√2 これをさらに、中心が (a,-b) となるように、x軸方向に+a、y軸方向に-b平行移動させると、 x=X'-a, y=Y'+b 求める放物線の形(式☆)が得られることと思います。 試しに計算してみてください。」 座標変換や平行移動のところまで分かったのですが、そこから先の導出過程がわからなく困っています。 すでに、質問者のnaetopさんもご理解いただいている質問で恐縮ですが、ご教示いただけると大変助かります。 どうぞよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご解答ありがとうございます。 いろんな解法を知っておくことで、問題に対していろいろなアプローチができるので、問題を解ける可能性も広がりますね。 解法や知識の引き出しを多く持って、普段から使えるように、しっかりと復習等やりたいと思います。 どうも、お世話になりました。