助けて(;人;)

質問

課題なのですがどうしても解けない問題があって
困ってます。

わかるかたは教えて
いただけないでしょうか…

１、
正四面体ＡＢＣＤにおいて、
△ＢＣＤの重心をＧとすると、ＡＧ⊥ＢＣである。
このことを、ベクトルを用いて証明せよ。

２、
直方体ＯＡＢＣ-ＤＥＦＨにおいて、△ＡＣＤの重心をＧ、辺ＯＤの中点をＭとするとき、点Ｇは線分ＢＭ上にあり、ＢＭを2:1に内分することを証明せよ。

３、
e1,e2,e3を、それぞれx軸,y軸,z軸に関する基本ベクトルとし、ベクトル
a=(-1,√2,1)とe1,e2,e3のなす角を、それぞれ
α,β,γとする。

(１)cosα,cosβ,cosγの値を求めよ。

(２)α,β,γを求めよ。

回答No.1

Kules · ベストアンサー

1.まあそのままと言ってしまえばそのままですが、文章をそのままベクトルに直してやればよいかと。
始点はどこでもいいんですが、雰囲気としてはAを始点に取るとよさそうなので、Aを始点にして、基準ベクトル（っていうんでしたっけ？）をAB,AC,Dにとります。
AGは作れますよね？教科書やら参考書やらのどこかに載っています。
AGとBCの内積が0で、AG≠0、BC≠0であれば、AG⊥BCは言えます。

2.同じく文章を素直にベクトルに直していきましょう。直方体の頂点にOがいるのでOを始点に取りましょうか。（別にO以外を始点にとってももちろん解けます）
基準ベクトルはOA,OC,ODとしましょうか（これ以外の３つでもいいですが、できれば辺に沿っている方がいいでしょうね）
（ここで全部作る必要はありませんが、OB,OE,OF,OHがそれぞれOA,OC,ODでどのように表されるかは意識しておいた方がいいです。）
まずOGベクトルを作ります。基準ベクトルだけで作れるので楽ですね。
中点のベクトルの公式みたいなやつも教科書なり参考書に載っているはずなので、OMも作れますね。

ある点Pが線分BM上にある、というのは、BからMに向かって進んでたらMに着く前にPに出会う、ということです。
ベクトルは「移動」を表すので、「BからMに向かって進んで」というのはBMベクトルのことです。で、Mにつく前にPに出会うということはBMよりBPが短いということなので、
BP=kBM
となります。ここで、kは0～1の間です。
ということは、Gが線分BM上にあることを言いたければ、
BG=kBMの形で表されて、しかもkが0～1の間にあることが示せればいいですね。
内分の公式もどこかに載っているはずなので、OG,OB,OMがその公式の形の関係になっているかを確かめましょう。

3.これは言葉で説明するのは少し難しいです。まず、xyz空間内に原点O（0,0,0）、A=(-1,√2,1)をとると、OAベクトル=aベクトルです。
Aからxy平面,yz平面,zx平面にそれぞれ垂線を下ろし、その足をBC,Dとします。B,C,Dからさらにx軸、y軸、z軸に垂線を下ろしてその足をE,F,G（x軸上にある点がE,y軸上にある点がF,z軸上にある点がGとします）とすると、O,A,B,C,D,E,F,Gを頂点とする直方体が出来上がります。
このように描くと、αとは∠AOE,β=∠AOF,γ=∠AOGであることがわかります。
△AOE,△AOF,△AOGは全て直角三角形ですから、そこからcosの値も、角度そのものもわかると思います。

参考になれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。

頑張って解いてみたいと
思います♪