数学の問題がわかりません

質問

わからないので教えて欲しいです

OA=1 OC=OD=2の直方体OABC-DEFGがあり、OAベクトル=aベクトル、OCベクトル=cベクトル、ODベクトル=dベクトルとする。辺BCを1:2に内分する点 をPとする(△EFGの 重心をQとする)

PQ=(-1/3)cベクトル＋dベクトルのときPQベクトルの大きさはいくらか

また、直線PQと3点B,E,Gを通る平面との交点をRとするときのORベクトルは？

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ベクトル記号の→は省略します。
点Oを原点、
点Aをｘ軸上、点Cをｙ軸上、点Dをｚ軸上におくと
ａ＝（１，０，０）、ｃ＝（０，２，０）、ｄ＝（０，０，２）

するとＰＱ＝（０，－２／３，０）＋（０，０，２）
　　　　　　＝（０、－２／３、２）
よってその大きさは
√（４／９＋４）＝２√１０／３

これって、辺BCを1:2に内分する点 をPとする(△EFGの
重心をQとする)
というのと矛盾しないのかな？

ということで確認してみると、
ＯＰ＝ｃ＋２ａ／３
　　＝（２／３、２、０）
ＯＱ＝（ＯＥ＋ＯＦ＋ＯＧ）／３
　　＝（（ａ＋ｄ）＋（ｃ＋ｄ）＋（ａ＋ｃ＋ｄ））／３
　　＝（２ａ＋２ｃ＋３ｄ）／３
　　＝（２／３、４／３、２）
よってＰＱ＝ＯＱ－ＯＰ
　　　　　　＝（０、－２／３、２）
合ってるね。

点Ｒは3点B,E,Gを通る平面上にあるので、実数ｓ、ｔを用いて
ＥＲ＝ｓ・ＥＢ＋ｔ・ＥＧ
　　＝ｓ（ｃ－ｄ）＋ｔ（ｃ－ａ）
　　＝（－ｔ、２（ｓ＋ｔ）、－２ｓ）
よってＯＲ＝ＯＥ＋ＯＲ
　　　　　　＝ａ＋ｄ＋ＯＲ
　　　　　　＝（１，０，０）＋（０，０，２）＋（－ｔ、２（ｓ＋ｔ）、－２ｓ）
　　　　　　＝（１－ｔ、２（ｓ＋ｔ）、２－２ｓ）　・・・（１）
また、ＰＲ＝ｕ・ＰＱ
　　　　　　＝（０、－２ｕ／３、２ｕ）　　（ｕは実数）

よってＯＲ＝ＯＰ＋ＰＲ
　　　　　　＝（２／３、２、０）＋（０、－２ｕ／３、２ｕ）
　　　　　　＝（２／３、２－２ｕ／３、２ｕ）　・・・（２）
（１）と（２）は同じＯＲなので、各成分は等しくなる。つまり
１－ｔ＝２／３
２（ｓ＋ｔ）＝２－２ｕ／３
２－２ｓ＝２ｕ

この連立方程式を解いてｓ，ｔ，ｕを求めましょう。

回答No.2

yyssaa

PQ=(-1/3)cベクトル＋dベクトルのときPQベクトルの大きさはいくらか
＞ベクトルを↑、内積を↑・↑で表すと、
PQベクトルの大きさ=√(↑PQ・↑PQ)=√[{(-1/3)↑c+↑d}・{(-1/3)↑c+↑d}]
=√{(-1/3)↑c・(-1/3)↑c+(-1/3)↑c・↑d+↑d・(-1/3)↑c+↑d・↑d}
=√{(1/9)|↑c|^2+|↑d|^2}=√(4/9+4)=2√10/3・・・答
また、直線PQと3点B,E,Gを通る平面との交点をRとするときのORベクトルは？
＞↑OP=↑c+(2/3)↑a
↑EQ=(2/3){↑EG+(1/2)↑a}=(2/3){↑c-↑a+(1/2)↑a}=(2/3)↑c-(1/3)↑a
↑OQ=↑d+↑a+↑EQ=↑d+↑a+(2/3)↑c-(1/3)↑a=↑d+(2/3)↑a+(2/3)↑c
↑PQ=↑OQ-↑OP=↑d+(2/3)↑a+(2/3)↑c-{↑c+(2/3)↑a}=↑d-(1/3)↑c
0＜t＜1として、↑ER=↑EB+↑BP+t↑PQ=↑c-↑d-(1/3)↑a+t{↑d-(1/3)↑c}
={1-(t/3)}↑c-(1/3)↑a+(t-1)↑d
u,vを実数として↑ER=u↑EB+v↑EG=u(↑c-↑d)+v(↑c-↑a)=(u+v)↑c-u↑d-v↑a
{1-(t/3)}↑c-(1/3)↑a+(t-1)↑d=(u+v)↑c-u↑d-v↑aの係数を比較して
1-(t/3)=u+v、-(1/3)=-v、(t-1)=-uからt=u=1/2、v=1/3
代入して↑ER=(u+v)↑c-u↑d-v↑a=(5/6)↑c-(1/2)↑d-(1/3)↑a
↑OR=↑OD+↑DE+↑ER=↑d+↑a+(5/6)↑c-(1/2)↑d-(1/3)↑a
=(2/3)↑a+(5/6)↑c+(1/2)↑d・・・答