長さが一定の棒が動いてできる曲線について

質問

<問題A>
xy平面上に2直線l,mがあり、
l:y=0
m:y=x*tan(θ)
とする(0<θ<π)。l,m上にそれぞれ点P,Qをとり、
PQ=L=(一定)
(L>0)となるようにP,Qを動かす。このときに線分PQが動いてできる領域の境界線(包絡線)を求めよ。

という問題を考えました。周知の通り、θ=π/2のときにはアステロイド(x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3))となりますが、そうでない場合、どういう曲線になるか、という問題です。
自分でも考えてみたのですが、とりあえず2通りの方法を思いつきました。

(1)P,Qの座標をp,qを用いてあらわし、PQ=Lの条件の下で線分PQの包絡線を求める。
簡単そうだと思ったのですが、1変数の場合の包絡線の求め方しか知らなかったので、断念しました。PQ=Lを一方の文字について解けば1変数になりますが、それだとおぞましいことになるので…。

(2)包絡線をC:y=f(x)とおいて、C上の点(t,f(t))での接線とl,mとの交点を求め、PQ^2をt,f(t)で表し、PQ^2=L^2の両辺を微分することで微分方程式を導く。
僕はこっちでやってみました。まだ高校3年生なので微分方程式に触れたことはあまりなく、わけのわからない式になったときは戸惑いましたが、変数変換を駆使していくと案外きれいな形(y'についての(係数にx,yを含んだ)3次方程式)になりました。もちろん3次方程式でも十分恐ろしい形なのですが、y'=tという変数変換によって(x,y)のtについての媒介変数表示を得ることに成功しました。自分でも正直、微分方程式をほとんど知らない状態でここまでたどり着いたことに驚いたのですが、θ=2π/3、L=1でグラフ作成ソフト(function view)に書かせたところ、ヘニャッとした曲線が第2象限のほうに描かれて終わりでした。…いや、むしろ第1象限のほうが知りたいのですが。しかも条件を満たしてないっぽいし。かなりの計算量だったので、もう1回計算する気にもなれず、解はないのだと諦めてしまいました。(ちなみに、第1象限とかは普通の意味ではなく、l,mによって区切られた4つの領域のうち、右上のほうです。)

というわけで、なかば諦めて、2ヶ月くらいたったのですが、ふとしたきっかけで思い出して、実際にやってみたんです。棒を使って。そうすると、それっぽい曲線が描かれたので、やはり解はあるんだと確信しました。前と同じことをやっても同じ結果になりそうなので、すこし皆さんの知恵をお借りしたいと思って質問しました。

ちなみに、この問題自体は別の問題を考えていたときに出てきたものです。

<問題B>
平面上に長さが1の線分がある。この線分を1回転させる間に線分が掃く面積Sの最小値を求めよ。

たとえば一方の端を中心として回せばπとなりますが、中点の周りにまわせばπ/4となります。どのように回せば線分の掃く面積Sが最小になるか、という問題なのですが、学校の授業中に先生が雑談としてたまたまこの問題を紹介して、実はSはいくらでも0に近づけられることが証明されているそうです。問題Aは、自分で問題Bについて考えていたときに出てきたおまけのようなものつもりだったのですが、意外と手強く、苦戦してしまい、いつの間にか問題Bのことは忘れていました。でもやっぱりこっちも気になるので、どなたかSをいくらでも0に近づけられることの証明を教えていただけませんか？

質問が多くなって申し訳ないのですが、お願いします。

回答No.8

stomachman

No.7 の座標系で包絡線の座標(x,y)を
X=2Tx/L
Y=2Ty/L
とスケーリングし、
s=a/√(1+a^2)　= sinφ
c=1/√(1+a^2) = cosφ
(a = tanφ)
を使ってX,Yを表すと
X=((T^2+1)(c^2)+1)s
Y=((T^2+1)(s^2)+T^2)c
となる。範囲|a|≦Tで ∫ydxを計算するのなら簡単でしょ。仰るところの「第２象限」ではTを(1/T)に置き換えるだけ。

ところでパラメータを消せないか。（X^2+Y^2）は(s^2)の2次式になるから(s^2)が具体的に解けて、(X^2)あるいは(Y^2)から(s^2), (c^2)を消去でき, XとYだけの関係式になりますね。

回答No.7

stomachman

問題Aについて、式があんまり大変にならないパラメータの取り方を考えてみました。

　直線 y=a(t)x + b(t)の係数a(t), b(t)がパラメータtによって動くとき、包絡線はtを使って、
(x,y) = (-b'/a', b-ab'/a') ただし a'=da/dt, b'=db/dt
と書け、するともちろん、
dx/dy=a

　さて、ご質問とは座標系を変えて、直線y=a(t)x + b(t)が点P=(p, Tp)と点Q=(q,-Tq) を通る(T＞0, p＞0, q＜0)とする。（この方が対称性が良くて簡単になりそうなので。）すると、
p=b/(T+a), q=-b/(T-a)
また直線は包絡線に接しているのだから |a| ≦1/T。|a|≦T も自明。
　さらにPQの距離がL^2であるという条件
(p-q)^2 + (Tp+Tq)^2 = L^2
より
2((Tb)^2)(1+a^2) / ((T^2 - a^2)L)^2 = 1
これをbについて解いてみると、
b=L(T^2 - a^2)/(TD), ただしD=√(2(1+a^2))
かな。

　さて、パラメータをt=aとしてみると、a'=1 であり、
x=-b'=2La(T^2 + a^2 + 2)/(T(D^3))
y=b-ab'=2L(2(Ta)^2 + a^2 + T^2))/(T(D^3))

計算間違いはご容赦。で、もっと簡単になるtはないかなー。

回答No.6

stomachman

No.4,5です。問題Bについて言い忘れました。
線分が掃く面積が0にできる、ってのはちょっと直感に反するような結論ですよね。Perron's treeという一連の平面図形の極限は、面積0のくせに、その中で線分を無限に「切り返し」することで幾らでも回転できちゃうんだとか。これは測度論あたりをしっかり勉強しないと分かんないと思う。あちしも分からんっす。

補足

ありがとうございます、調べてみたらフラクタルっぽい図形が出てきました。
ただ、具体的にどのような変換を繰り返してできる図形なのか、なぜいくらでも小さくできるかといった事に関する詳細な記述がインターネット上では検索しても出てこなかったので、詳細は本をあさるしかなさそうですね。
ちなみに、<問題B>は「掛谷問題」という名前がついているそうです。

このあたりで<問題B>は解決したことにして(もちろん、有益な情報があればご回答願います)、次は<問題A>についてご解答ください。
前にも言いましたが、
(i)曲線のできるだけ簡単な表示
(ii)曲線が囲む面積("第1象限"、"第2象限"を別々に)
の2つを求めてください。

回答No.5

stomachman

No.4です。
すげーことになったようですが、はて、何でcosθやsinθが出てきちゃうだろ。θは定数ではなかったのかな？
θを定数だとして、T=tanθと書けば
f=(Tq)/(q-p)
であり、計算したいのは
x = p+f/f'= p+(q-p)q/(q-pq')
および
y=(f^2)/f'
ただし、
f' = df/dp
q' = dq/dp
です。

Qの座標(q,Tq)は
(Tq)^2+(p-q)^2-L^2=0
より
q=(p±Z)/H
ここに
Z=√((L^2)H-(Tp)^2)
H=(1+T^2)
としました。グラフを描くだけなら、これで十分でしょう。

　でも怖い物見たさでちょっとだけ展開してみますと、
(q-p)q=[Z^2 -(Tp)^2 ± (1-T^2)Zp]/[H^2]
また、
q' = -(±(T^2)p/Z-1)/H
を使って
(q-pq')=±[(Z^2)+(Tp)^2]/[HZ]
従って、
f/f' = [(1-T^2)Zp±(Z^2 - (Tp)^2)]/[H(Z^2+(Tp)^2]
ここで
Z^2=(L^2)H-(Tp)^2
を使って
x=p+f/f' =p+[(T^2-1)(T^2)(p^3)+(1-T^4)(L^2)p±(H(L^2)-2(Tp)^2)Z ]/[(HL)^2]
y=(f^2)/f' = [(3T^2-1)H(T^2)(p^4)+(1-4T^2)((HLp)^2)±H{(T^2-3)((Tp)^2)+(2-T^2)H(L^2)}Zp+(H^3)(L^4)]T / [(H^3)(L^2)(±Z-(T^2)p]
になるかな。あと、HとZを代入するだけですが、ま、やめとこ。

回答No.4

stomachman

問題Aはなかなか回答がつかないみたいですね。

> PQ=Lを一方の文字について解けば1変数になりますが、

の方針でやって、少々おぞましいのを我慢すれば、どってことなく解けるんじゃないかな。
1. 点P=(p,0)から距離Lにある点Q=(q, q tanθ)のqをpで表す。（有効なqが２つ存在する場合には、両者を区別しておく必要がありますね。）
2. 点Pと点Qを通る直線の方程式は
y=(x-p)f
という格好になるでしょう。ただしfはpの関数で、少々ややこしい式ではあるが陽に分かってる。
3. pを無限小Δpだけ動かしたときの点P'と点Q'を通る直線の方程式は、fとf'= df/dpを使って
y=(x-p-Δp)f+(x-p)f'Δp
4. これら二つの直線の交点(x,y)は（Δp→0で）包絡線上に来る。2, 3から、
x=p+f/f'
y=(f^2)/f'
これで媒介変数pで表された包絡線(x(p),y(p))が出ます。

補足

やってみたら、大変なことになりました…。
まず、x(p)は、
x(p)=
p-cos(t)^6*(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)*(p-sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2))*(tan(t)^2*L^2*sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)+L^2*sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)+3*p^2*tan(t)^4*sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)-p^2*tan(t)^2*sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)+3*p*L^2*(tan(t)/cos(t))^2+p^3*tan(t)^4*(tan(t)^2-3))/(L^2*(p*tan(t)^2*sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)+L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)*((p-sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2))*cos(t)^2-p))

y(p)は、
-cos(t)^8*(tan(t)*(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)*(p-sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2))^2*(L^2*sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)/cos(t)^2+3*p^2*tan(t)^4*sqrt((tan(t)^2+1)*L^2-p^2*tan(t)^2)-p^2*tan(t)^2*sqrt((tan(t)^2+1)*L^2-p^2*tan(t)^2)+3*p*L^2*(tan(t)/cos(t))^2+p^3*tan(t)^4*(tan(t)^2-3)))/(L^2*(p*tan(t)^2*sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)+L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2)*((p-sqrt(L^2/cos(t)^2-p^2*tan(t)^2))*cos(t)^2-p)^2)

となりました(maxima使用)。さすがにこれじゃあ何がなんだか分からないので、ほかの方法でお願いします。理想は媒介変数を含まない形ですが、媒介変数表示でもかまいませんので、もう少しきれいな形がほしいです。せめて、求める曲線で囲まれた図形のうち、第1象限と第2象限の部分の面積を別々に求められるくらいの簡単な式が求められれば良いのですが…。

ちなみに、一応この方法でFunction Viewに包絡線を描かせることには成功しました(P,Qをpであらわし、pを動かして線分PQの通貨領域を描画させる)。

回答No.3

nag0720

＃１、＃２です。

失礼しました。星形の図形の面積は０には近づかないようですね。

ただし、星形の辺を直線ではなく問題Aで考えられたように包絡線にすれば０に近づくはずです。

包絡線でなくても、それに近い複数の直線に近似すれば０に近づくことは証明できます。
例えば、アステロイド曲線 x^(2/3)+y^(2/3)=1 を(1,0)と(√2/4,√2/4)を通る直線と、(√2/4,√2/4)と(0,1)を通る直線で近似するというように。

回答No.2

nag0720

＞"星型"とは具体的にどういう図形でしょうか？

ちょっといびつですが添付図のような図形です。

回答No.1

nag0720

<問題B>だけ

アステロイド曲線は頂点が４つある星形になりますが、そのアステロイド曲線に沿って線分を移動させれば、１回転できます。

同じように、半径１の円を５等分して１つおきに点を結んだ形の星形で、同じように移動させれば、５回の移動で半回転、１０回の移動で１回転します。
そのときに線分の掃く面積は星形の面積より小さくなります。

同様に、円を７等分して２つおきに点を結んだ形の星形でも、その星形の中だけで線分が１回転できます。

ということを繰り返していけば、
円を（２ｎ＋１）等分して、（ｎ－１）個おきに点を結んだ形の星形の中で線分を１回転させることができます。

詳しい計算式は省きますが、
ｎを大きくしていけば、その星形の面積をいくらでも０に近づけることができます。

補足

"星型"とは具体的にどういう図形でしょうか？