体の拡大についての問題です

質問

多項式f(x)=x^3-2のQ上の分解体をL⊂Cとする
ω＝e^(2πi/3)としα1=2^(1/3)、α2=2^(1/3)ω、α3=2^(1/3)ω^2と定める
(1) L=Q(2^(1/3),ω)を示せ
　x^3-2を分解して(x-α1)(x-α2)(x-α3)を示せばいいのでしょうが1+ω+ω^2(x、x^2の係数)が0になることが示せません

(2) [L:Q]=6を示せ、さらにLのQ上の基底として{1、2^(1/3)、2^(2/3)、ω、2^(1/3)ω、2^(2/3)ω}がとれることを確認せよ
　[Q(2^(1/3)):Q]=3はわかるのですが[Q(2^(1/3),ω):Q(2^(1/3))]=2になるのがわかりません。[Q(ω):Q]は{1,ω,ω^2}で3ですよね？
　基底にω^2がないのはなぜでしょうか

回答No.3

grothendieck

Q(2^(1/3))上で f(X)=X^3 -2 は
　X^3 - 2 =(X- 2^(1/3))(X^2 +2^(1/3)X +2^(2/3))
と因数分解できますが、α2=2^(1/3)ωはf(X)=0 の解で ω - 1≠0 だから
　1+ω+ω^2=0
で良いのではないでしょうか。ω^2=1+ω なので[Q(ω):Q]は{1,ω}で２かと思います。