順位の期待値を求める方程式を探しています。

質問

ここに1位から16位までの16チームがあり、上位のチームは下位のチームに確実に勝てるものとします。ランダムに選び出された2チームで強い方の順位の期待値は17×1/3位、弱い方は17×2/3位です。この方法2回によって選ばれた強い方と強い方の2チームのうち強い方の順位の期待値は17×1/5位、弱い方は17×7/15位です。このような順位の期待値を求める方程式を探しています。Excelを使って反復計算をONにしてA1からP1に順位の期待値が出るようにしたいです。A1に＝(B1からP1を使った式)、B1に＝(A1とC1からP1を使った式)という感じでP1まで入力します。A1がB1に勝った場合、C1がD1に負けた場合など合計32の結果を入力します。こんな事が可能な方程式は存在するでしょうか？

回答No.1

stomachman

Nチームの中から2チームを選んだとき、強い方としてn位のチームが選ばれる確率をPa(n)とすると

Pa(n) = n位のチームが選んだ2チームに入っている確率(2/N) × もう一方のチームの方が順位が下である確率((N-n)/(N-1))

そして、2チームを選んだとき強い方のチームの順位の期待値Eaは
Ea = ΣPa(n) n (Σはn=1～Nの総和）
=(2/N) Σ((N-n)/(N-1))n
=(2/N) (NΣn-Σ(n^2))/(N-1)
=(N+1)/3
N=16なら、お書きの通りEa=17/3ですね。なおこの計算で、
Σn = N(N+1)/2、　Σ(n^2) = N(N+1)(2N+1)/6
を使っています。

弱い方はどうかというと
Pb(n)=(2/N)((n-1)/(N-1))
Eb = ΣPb(n) n
を計算すればいい。

さて本題ですけど、「この方法2回によって選ばれた強い方と強い方」と仰るのがよく分からない。というのは、「この方法」を単純に2回繰り返すと、2回とも同じチームが強い方として選ばれることだってあるわけで、なんだかご質問と話が合いません。

　もしかして、2回目の選抜では、1回目に選んだ2チームを除外したN-2チームの中から選ぶんでしょうか。
　そうだと仮定しましょう。すると、ともかく4チームを選んで、これをランダムに2チームずつの2グループに分ける。そして、各グループ中で強い方を取り出す。取り出した２チームA, Bの順位の期待値は？という話ですね。

　先ず、A, Bの内で強い方ってのは、選んだ4チームの中で最強ですから、これは割と簡単。
n＞N-4であればPa(n) =0です。さもなくば、
Pa(n) = n位のチームが選んだ4チームに入っている確率(4/N ) × 他の３つのチームはどれも順位がnより下である確率((N-n)/(N-1))((N-n-1)/(N-2))((N-n-2)/(N-3))
となり、
Ea = ΣPa(n) n (Σはn=1～N-4の総和）
を計算する。Σ(n^3), Σ(n^4)が出てきます。これらの総和の公式を導くこともできますが、公式集を探す方が早い。

　一方、A, Bの内で弱い方はどうか。これは４チームの中で2位のと3位のが選ばれる可能性があります。場合分けが面倒だな－。だれかやって～～～

　ということで、ともあれ、「こんな事が可能な方程式は存在するでしょうか？」というのがご質問である。それに対する答は
「（方程式じゃないですけど）公式が作れます。」
ということになりまする。