恒等式の問題について

質問

次の等式がxについての恒等式となるように、定数a,b,cの値を定めよ。
(a-2)x^2+(2a+b)x+(b+c)=0

この問題をどう解くのかがわかりません。
教えて頂けるとうれしいです！
お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

x についての恒等式というのは、
x に何を代入しても成立する式のことです。
x = 0, 1, -1 を代入してみましょう。

(b+c) = 0,
(a-2) + (2a+b) + (b+c) = 0,
(a-2) - (2a+b) + (b+c) = 0.
これらの式を、(a-2), (2a+b), (b+c) についての
連立一次方程式と見ると、
(a-2) = (2a+b) = (b+c) = 0 と解けます。

逆に、(a-2) = (2a+b) = (b+c) = 0 だとすると、
x に何を代入しても左辺は 0 になりますから、
与式は恒等式になります。

a-2 = 2a+b = b+c = 0 を a, b, c についての
連立一次方程式と見ると、
a = 2, b = -4, c = 4 と解けます。

回答No.4

alice_44

係数比較法が正しい解を導くことの証明は、
代入法によって行うのが通常です。
解法としてパッケージ化されているか
どうかの違いですね。
受験生は、公式が好きですから、
係数比較法を好むかもしれません。

回答No.3

mister_moonlight

恒等式の係数の決定については、解法は2つある。

(数値代入法)

これについては、＃2の回答で良いだろう。
＃1は必要条件を求めてるだけで、十分条件である事を確認していないから、回答としては問題外。

(係数比較法)
右辺と左辺の係数を比較する。
右辺(係数は全て0)と左辺各項の係数を比較すると、これがxの恒等式だから、a-2＝0、2a+b＝0、b+c＝0　である事が必要であり、そのとき条件式は恒等的に0になるから、a-2＝0、2a+b＝0、b+c＝0　が求める答えである、よって、(a、b、c)＝(2、-4、4)。

回答No.1

gohtraw

ｘがどんな値をとっても式の値がゼロになるということなので、各項の係数が全てゼロになります。すなわち

ａ－２＝０
２ａ＋ｂ＝０
ｂ＋ｃ＝０
これを解けばＯＫです。