不等式の証明

質問

a>0,b>0,c>0で、a^2+b^2+c^2=3のとき、
a^3+b^3+c^3+3abc<=6を示せ。

次のように考えました。間違い等あったらご指摘ください。
a^2+b^2+c^2=3　からa^2+b^2+c^2=3、b^2+c^2=3-a^2>0,よって、0<a<√3
f(a)=a^3+b^3+c^3+3abcとおく。
微分して、f'(a)=3a^2+3bc>0 よって、f(a)は単調増加。
f(0)=b^3+c^3>0,
f(√3)=3√3+b^3+c^3+3√3bc
a=√3のとき、a^2+b^2+c^2=3から、(√3)^2+b^2+c^2=3 よって、b^2+c^2=0より、
b=c=0
したがって、f(√3)=3√3+b^3+c^3+3√3bc=3√3<6
よって、f(a)のグラフから、0<a<√3で、f(a)<＝6

よろしくおねがいします。

回答No.2

momordica · ベストアンサー

> f(a)=a^3+b^3+c^3+3abc
> で、b,cを固定して、f(a)を微分して考えていきました。

a>0, a^2+b^2+c^2=3 という条件のもとでは、b, c を固定すればaも固定されます。
b, cを固定してaを変化させるという考え方は、この問題に対しては無意味です。

そのように変数の一部を固定して考えるなら、例えばcのみを固定し、bの方は
aの関数として表すなどすべきでしょう。

お礼

回答ありがとうございます
a>0, a^2+b^2+c^2=3 という条件のもとでは、b, c を固定すればaも固定されます。
言われれば、なるほどと思います。納得できます。

変数の一部を固定して考えるなら、例えばcのみを固定し、bの方は
aの関数として表すなどすべきでしょう。
これを参考にして、もう一度やってみます。

補足

cのみを固定し、bの方はaの関数として
微分してみましたが、求められたaについての導関数が
複雑でこの導関数の様子がよく分かりませんでした。

ということは、この問題の場合、別の解法をとるべき
なのでしょうか。

回答No.1

muturajcp

[f'(a)=3a^2+3bc>0]は間違っています。
f(a)は単調増加ではありません
f'(a)=3a^2+3b^2b'+3c^2c'+3bc+3acb'+3abc'
a+bb'+cc'=0

c≒0のとき
b=(3-a^2)^{1/2}
f(a)=a^3+(3-a^2)^{3/2}
f'(a)=3a^2-3a(3-a^2)^{1/2}
a<√(3/2)のとき、f'(a)<0

お礼

回答ありがとうございます。
f(a)=a^3+b^3+c^3+3abc
で、b,cを固定して、f(a)を微分して考えていきました。
この場合、私の解答の場合どこが間違っているか教えてもらえるとありがたいです。