- ベストアンサー
数A論証の問題がまったくわかりません。
ichiro_abeの回答
- ichiro_abe
- ベストアンサー率85% (6/7)
対偶は、命題「PならばQ」に対して[QでないならPでない」のことで、命題と同値になります。 つまり、命題を証明する代わりに対偶を証明してもよいということです。 今回の場合は、命題「3n（質問文のn3は3nのことですよね？）が奇数ならば、nは奇数である」に対して、 対偶は「nが偶数ならば、3nは偶数である」です。これを証明します。 整数をmとして、n=2mとする。 3n=3×(2m)=6m=2×(3m) つまり、3nは偶数となる。 対偶が証明されたので、命題「3nが奇数ならば、nは奇数である」は証明された。
関連するQ&A
- 数学Iの集合と論証について教えてください
集合と論証が全く分からないので、教えてください。 （問題）nが自然数のとき、次の命題が真であることを証明しなさい。 （命題）(n+1)^2は偶数⇒nは奇数 （証明） 与えられた命題の対偶 nは偶数⇒(n+1)^2は奇数 が真であることを証明する。 nを正の偶数とすると、mを自然数として n=2m+2 と表すことができる。このとき、 n+1=？？ ？？が分かりません。普通に2m+2+1で良いんですか？ あと上の証明は合ってますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 論証 証明の仕方
命題 ｍ＋ｎ，ｍｎが共に偶数ならばｍ，ｎは共に偶数である が真であることの証明法を質問します。 逆の命題はｍ＝２ｋ，ｎ＝２ｌ（ｋ，ｌはともに整数）とおいてｍ＋ｎ＝２（ｋ＋ｌ），ｍｎ＝２×２ｋｌで証明終でしたが，上記のも直接証明できませんか？（ｌは小文字のエル） 対偶で ｍ，ｎの少なくとも片方が奇数ならばｍ＋ｎ，ｍｎの少なくとも片方は奇数である は 1)ｍが偶数ｍ＝２ｋ，ｎが奇数ｋ＝２ｌ－１（ｍｎは偶数だがｍ＋ｎは２ｋ＋２ｌ－１となるので奇数） 2)ｍ，ｎ共に奇数 ｍ＝２ｋ－１，ｌ＝２ｌ－１（ｍ＋ｎは偶数だがｍｎは４ｋｌ－２ｋ－２ｌ＋１となるので奇数） 3)ｍが奇数ｍ＝２ｋ－１，ｎが偶数ｎ＝２ｌ（1)と同様） としてそれぞれｍ＋ｎ，ｍｎを示せばよいのでしょうが，そうではない方法でお願いします。 ｍ＋ｎ＝２ｋ，ｍｎ＝２ｌとおいてｎを消去したらｍの2次式となってしまい，解の公式で解いたら ｍ＝ｌ±√ となり，偶数であることを示せませんでした。
- 締切済み
- 数学・算数
- 集合と論証
教えてください。 1. nが自然数のとき、命題「n2乗は偶数→nは偶数」が真であることを証明する。次の問いに答えなさい。 (1)この対偶をつくりなさい。 対偶「 → 」 (2)(1)でつくった対偶を利用して、もとの命題が真であることを証明しなさい。 ［証明］nを正の( )とすると、mを( )として n＝ ( )と表すことができる。 このときn2乗＝( )2乗＝( )＝2( )＋1 ( )は( )であるから、n2乗は( )である。 したがって( )が( )であることが( )されたので、もとの命題も( )である。 2. √2-1が無理数であることを√2が無理数であることを用いて、背理法で証明しなさい。 ［証明］√2-1が( )ではないと仮定する。 このとき√2-1は( )である。 a＝ ( )としてこの式を変形すると√2＝( ) となる。 ここでa,1はともに( )であるから ( )も( )である。よって√2も( )となり √2が( )であることに( )する。 したがって√2-1は ( )ではないとした仮定が( )であり√2-1は( )であることが証明された。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学「集合と論理」の問題が分からないです。
m、nを整数とします。次の命題の対偶をつくってください。また、その真偽を調べてください。 （１）m^2+n^2が奇数ならば、m、nの少なくとも一方は偶数である。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 整数問題の証明
「ある整数n(n+2)が8の倍数ならばnは偶数であることを証明せよ。」 という問題で、この問題の解答を一応書いておくと、 「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、 n=2k-1(kは整数)とおいて、 n(n+2)=(2k-1)(2k+1)=4k^2-1より、 n(n+2)は奇数なので8の倍数になりえず矛盾。 ゆえにnは偶数である」 ですが、私は、 「n(n+2)が8の倍数ならばnは奇数であると仮定すると、 n(n+2)=8k(kは整数)と表せるので、 n^2=2(4k-n)となり、n^2は偶数だから、 nが奇数ならばn^2も奇数なので矛盾。 ゆえにnは偶数である」 と解いたのですが、これは解答として成立しますか？ 違うのであれば具体的にどこが違うのかもお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- nが整数のとき、n^2が素数aの倍数ならばnはaの倍数である、は真ですか？
数学の問題を解いていると、nが整数のとき、 n^2が3の倍数⇔nは3の倍数 を証明せよ n^2が5の倍数⇔nは5の倍数 を証明せよ という問題がありました。 そこで、質問タイトルにあるように、 「n^2が素数aの倍数⇔nはaの倍数」 は成り立つかな？と思って証明しようと思い、 必要は明らかなので十分について 対偶を取って数学的帰納法で証明しようとしたのですが、うまくいきませんでした。 そもそもこの命題は真なのでしょうか。真なのでしたら、 出来るならば高校数学の範囲で証明を示してもらえないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 宿題が分からないので教えて下さい(;_;)
ａ、ｂは実数とする。対偶を利用して次の命題を証明せよ。 (１) ａ+ｂ=>ａ≦2またはｂ≦3 (２) ａ+ｂ≠4またはａ-ｂ≠2=>ａ≠3またはb≠1 M、Nは整数とする。対偶を利用して、次の命題を証明せよ。 M^2+N^2は奇数=>MNは偶数 お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 命題 n^2が偶数ならば、nは偶数である
nは整数とします この命題が真であることを対偶と背理方を使わずに証明せよ 命題 n^2が偶数ならば、nは偶数である どなたかご教授願います
- 締切済み
- 数学・算数