中３三角形の相似

質問

三角形の相似の問題が苦手でわかりません。
月曜までのレポート課題のラスト１枚がこれです。
教えていただけませんか？

回答No.6

Mr_Holland

(1) AB=10cm、AE:EB=3:2　なので　AE=6cm、EB=4cm
　　∴　△AEC:△ABC=3：5　　　　　　　　　　・・・・・・(A)
　△AECに　三角形の角の二等分線と比の定理を適用して　∠AEF=∠CAF　だから
　　　EF:FC=AE:AC=3:4
　　∴　△AEF:△AEC=3：7　　　　・・・・・・・・・・・・(B)
　(A)(B)から　△AEF:△ABC=(3*3)：(5*7)=9:35

(2) △BACに　三角形の角の二等分線と比の定理を適用して　∠ABD=∠CBD　だから
　　　AD:CD=AB:CB=2:3
　　∴△ABD:△ABC=2：5　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(C)
　△ABPと△EBPで　BP共通、∠APB=∠EPB=90°、∠ABP=∠EBP
　1つの辺をその両端の角がそれぞれ等しいので　△ABP≡△EBP　　　・・・・・(D)
　従って、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので　BE=AE=2 (cm)
　　∴EC=BC-BE=1 (cm)
　　∴△ABE:△ABC=2:3　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(E)
　(D)より　△ABP≡△EBP　なので　△ABP=△EBP
　　∴△ABP:△ABE=1:2　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・(F)
　(E)(F)から　△ABP:△ABC=1:3　　・・・・・・・・・・・・・・・・・（G)
　(C)(G)から　△ADP=△ABD-△ABP =(2/5-1/3)△ABC =(1/15)△ABC
　　∴BP:PD=△ABP:△ADP=(1/3):(1/15)=5:1

(3) 点Gは△ABCの重心なので、AG:AD=2:3
　また、EF∥BC なので　AE:AB=AF:AC=2:3
　△AEFと△ABCは　3組の辺の比がすべて等しいので　△AEF∽△ABC　で相似比は 2:3
　（△AEF∽△ABCの証明は、他の２つの相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」「2組の辺の比が等しくそのはさむ角が等しい」でも示すことができます。）
　∴　△AEF:△ABC=2^2:3^2=4:9
　GD:AG=1:2　なので、△DEF:△AEF=1:2
　∴△DEF=(1/2)*(4/9)△ABC =8 (cm^2)

　また　BE:AE=1:3 なので　△EBC=(1/3)△ABC =12 (cm^2)

　添付図が不明瞭なところがありますので、数字や記号などの読み取りミスがありましたら　ご容赦ください。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.5

noname#189285

1問目

三角形ABCの面積を1として、面積はこれに対する比率で記述します。

三角形AECの面積はAE：AB＝3：5より3/5です。

また線ADは∠Aの二等分線の為、Fから線AC、AEに垂線を下ろすと長さは等しくなります。すなわち三角形AFCとAFEは高さが同じということです。従って面積比は底辺の比より4：3となります。

従って三角形AECとAEFの面積比は7：3です。

以上から三角形AEFの面積をXと置くと

3/5　：　X　＝　7　：　3

X＝9/35

です。

従って答えは　9/35　：　1

　　　　　　　　　＝　9　：　35

2問目

三角形ABCの面積を1として、面積はこれに対する比率で記述します。

線BDは∠Bを二等分しているので、Dから線AB、BCに下ろした垂線の長さは等しくなります。すなわち、三角形ABDとBCDは高さが同じということです。従って面積比は底辺の比2：3です。

従って三角形ABDの面積は2/5です。

また、三角形ABFとBEFは、点Fで同じ角度(90°)、点Bでも同じ角度、かつ線BFを共有するので合同です。従って線BEの長さは2cmです。BE：BC＝2：3より三角形ABEの面積は2/3です。三角形ABFとBEFは合同(＝同じ面積)のため、三角形ABFの面積は2/3　÷2＝　1/3　です。

従って三角形AFDの面積はABD－ABF＝2/5－1/3＝1/15です。

従って三角形ABFとAFDの面積比は1/3　：　1/15　＝　5　：　1　です。これらの三角形は頂点をAとすると同じ高さなので、底辺の比はBF：FD＝5：1です。

これが求める答えとなります。

3問目

重心は中線を2：1で分割し、またEFとBCは平行なので、三角形AEFの面積は30×底辺2/3×高さ2/3＝40/3cm2です。従って台形EBCFの面積は30－40/3＝50/3cm2です。

重心は中線を2：1し、底辺の長さも比例するので、線EFとBCの比は2：3です。従って、三角形EBD＋FDC＋DEFの面積は台形EBCF、また三つの三角形は同じ高さであることから、三角形DEFの面積と、三角形EBD＋FDCの面積の比は線EFとBCの比と同じ2：3となります。従って三角形DEFの面積は台形EBCFの2/5となります。

従って三角形DEFの面積は50/3　×　2/5　＝　100/15　＝　20/3cm2となります。(一つ目の答えです)。

上記の通り線EFとBCの比は2：3、EFとBCは平行なので、三角形EBCの面積は台形EBCFの3/5となります。

従って三角形EBCの面積は50/3　×　3/5　＝　150/15　＝　10cm2となります。(ニつ目の答えです)。

以上です。

お礼

どうもありがとうございました。

回答No.4

nag0720

2問目は、

△ABPと△EBPは合同なので、BE=2、EC=1で
△ABE：△ACE＝２：１

BDは∠Bの二等分線なので、点Dは辺ACの２：３の内分点で、
△AED：△CED＝２：３

よって、
BP：PD＝△ABE：△AED＝２：２／５＝５：１

回答No.3

gohtraw

三問目。
　Ｇは重心なのでＡＧ：ＧＤ＝２：１です。また△ＡＥＦと△ＡＢＣは相似でその面積比は４／９：１になります（辺の長さの比が２／３：１なので）。従って
△ＡＢＣ：△ＡＥＦ：△ＤＥＦ＝１：４／９：４／９＊１／２
　　　　　　　　　　　　　　＝９：４：２
になります。
　また、ＡＢ：ＡＥ＊＝１：２／３であり、ＢＤ＝ＤＣなので
△ＡＢＣ：△ＡＢＤ：△ＥＢＣ＝２：１：１／３
になります。

回答No.2

gohtraw

とりあえず一問目。
ＡＥ＝ＡＣ＝６ｃｍ　なので△ＡＥＣは二等辺三角形です。また、三角形ＡＥＦとＡＣＦは合同なのでＥＦ＝ＦＣです。従って△ＡＥＦの面積は△ＡＥＣの半分です。
　また、△ＡＥＣの面積はは△ＡＢＣの３／５ですから、△ＡＥＦの面積は△ＡＢＣの０．５＊３／５＝３／１０です。

回答No.1

loarts

もっと拡大してくれれば解るのですが…