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二次合同式の解き方
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- Mr_Holland
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ANo.1は煩雑でした。 もう少しスマートに計算することができましたので、以下に示します。 x^2≡7 (mod 27) ⇒x^2≡7 (mod 9) ⇒x^2≡1 (mod 3) ⇔x≡±1 (mod 3) ∴x=3n±1 (n:整数)とおける。 以下、複号同順とします。 x^2=(3n±1)^2= 9n^2±6n+1 だから x^2≡±6n+1≡7 (mod 9) ∴±6n≡6 (mod 9) ∴±2n≡2 (mod 3) この合同式は ±n=1 のとき成立するので ±n=3m+1 (m:整数)とおける。 x^2=9(3m+1)^2+6(3m+1)+1 =81m^2+72m+16 だから x^2≡18m+16≡7 (mod 27) ∴18m+9≡0 (mod 27) ∴2m+1≡0 (mod 3) この合同式は m=1 のとき成立するので m=3k+1 (k:整数)とおける。 x=3n±1=±(±3n+1)=±{3(3m+1)+1}=±(9m+4)=±{9(3k+1)+4}=±(27k+13) ∴x≡±13 (mod 27) ∴x≡13,14 (mod 27)
- Mr_Holland
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x^2 の法を 27,9,3 と変化させると次のようになります。 x^2≡7 (mod 27) ≡7 (mod 9) ≡1 (mod 3) 3を法としたとき 平方数x^2 が1になるのは xが3の倍数でないとき(x=3n±1, n:整数)だけです。 (x^2=(3n±1)^2=9n^2±6n+1 となることから) ここで x=3n±1 (n:整数)の平方数で 9を法とした数を考えます。 x^2=9n^2±6n+1 ≡±6n+1 ≡7 (mod 9) この合同式は nの係数の符号が+のとき n=1 のときに成立し、nの係数の符号が-のとき この合同式は n=2 のときに成立する。 6と9の最小公倍数18を6で割ったものは3なので n は次のように表せます。 n=3m+1 (nの係数の符号が+のとき), 3m+2 (nの係数の符号が-のとき) (m:整数) ∴x=3(3m+1)+1=9m+4 (nの係数の符号が+のとき), =3(3m+2)-1=9m+5 (nの係数の符号が-のとき) ∴x=9m+4, 9m+5 (1) x=9m+4 のとき x^2=(9m+4)^2=81m^2+72m+16 ≡18m+16 ≡7 (mod 27) この合同式は m=1 のとき成立し、18と27の最小公倍数54を18で割ったものは3なので m は次のように表せます。 m=3k+1 (k:整数) ∴x=9(3k+1)+4=27k+13 (2) x=9m+5 のとき x^2=(9m+5)^2=81m^2+90m+25 ≡9m+25 ≡7 (mod 27) この合同式は m=1 のとき成立し、9と27の最小公倍数27を9で割ったものは3なので m は次のように表せます。 m=3k+1 (k:整数) ∴x=9(3k+1)+5=27k+14 以上をまとめて ∴x≡13,14 (mod 27)
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