立方体の角の最小値と要約文の取得

質問

• 一辺の長さが１の立方体ＯＡＢＣ‐ＤＥＦＧがあり、点Ｂを端点とする半直線ＢＦ上に動点Ｐをとり、ＢＰベクトル＝ｔＢＦベクトルとする（ｔ≧０）。cos∠ＥＯＰをｔで表せ。また、∠ＥＯＰの最小値を求めよ。
• cos∠ＥＯＰを　αsinθ+βcosθの形で表せ。
• 最小値に辿り着く方法を教えてください。

回答No.3

info22_

> cos∠EOP =(√2/2)sinθ+(1/2)cosθ…(A)
> cos∠EOP =(√3/2)sin(θ+α)…(B)
これは合っています。

∠EOP=f(θ)とおくと
Pが半直線上にあるので
0≦θ＜π/2…(C)、0＜f(θ)≦π/3
ここでθ=0(PがBに一致する位置）のとき f(θ)=f(0)=π/3
1/2≦cosf(θ)<1、0<sinf(θ)≦√3/2…(D)

(A),(B)から
cosf(θ)=(1/2)(√2sinθ+cosθ)=(√3/2)sin(θ+α)…(E)
θで微分して
-f'(θ)sinf(θ)=(1/2)(√2cosθ-sinθ)
f'(θ)=(1/2)(sinθ-√2cosθ)/sinf(θ)
(D)から sinf(θ)>0 なので
(C)の範囲で　f'(θ)=0とするθを求める。
sinθ-√2cosθ=0
tanθ=√2 ∴θ=tan^-1(√2)
f(θ) (0<θ≦π/2)の増減表

__θ__|0____tan^-1(√2)_______π/2
f'(θ)|__－____0__________＋
f(θ)_|減少___最小_______増加

θ=tan^-1(√2)のとき
cosθ=1/√3,sinθ=√(2/3)なので
f(θ)の最小値は
(E)から
cosf(θ)=(1/2)(√2√+cosθ)=(√3/2)sin(θ+α)…(E)
f(tan^-1(√2))=cos^-1{(1/2)(√2√(2/3)+1/√3)}
=cos^-1{(1/2)√3}=π/6

(3)の答えは「π/6(ラジアン)」(＝30°)
（このときθ=tan^-1(√2)、x=BP=√2tanθ=2）

お礼

ありがとうございます！
ただ私は文系なので数学III・Ｃまでの範囲は習わないんです・・・
θで微分する方法を知らないので（できたら便利なのでしょうが）この解答が全く分からないのです・・・せっかく答えてくださったのに申し訳ないです。またの機会にお願いします。
でも本当にありがとうございました！