数学の級数の収束判定について質問です。

質問

数学の級数の収束判定について質問です。
画像の問題について、クラスで説明、発表しなければなりません。
できるだけ詳しい解説をお願いします。

回答No.1

noname#121794 · ベストアンサー

指導された方法でやらなきゃいけないのは仕方ない。((2)だけはもっと簡単にできる)
(1)
-1≦cosnx≦より
|cosnx/n^2|≦1/n^2

ここで∑(n=1～∞)1/n^2
は収束するので∑(n=1～∞)cosnx/n^2
はどんなxに対しても絶対収束する。

(2)
コーシーの判定法を用いると
an=(1＋1/n)^(n^2)とおいて
lim(n→∞)sup{(|an|)^(1/n)}=e
より∑(n=2～∞)anx は|x|<1/eならば収束するが、今の場合x=1として考えている。
つまり∑(n=2～∞)anは発散する

(3)
an=(2n-1)!!/n!　とおくと
a(n＋1)/an =(2n＋1)/(n＋1)
lim(n→∞) a(n＋1)/an ＝2より
∑(n=1～∞)an は発散する。

別解((2)のみ)
コーシーの判定法使うまでもなく
lim(n→∞)(1＋1/n)^(n^2)＝lim(n→∞){(1＋1/n)^n}^n
＝lim(n→∞)e^n
＝∞
したがって∑(n=2～∞)(1＋1/n)^(n^2)が発散することが瞬時にして分かる。