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数学・数列 級数の収束について教えてください！
おはようございます。 数学・数列の、級数の収束について教えてください。 具体的には、以下の問題で悩んでいます。 お願いします。
- gambaruzou
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質問者が選んだベストアンサー
まずわかりやすいところからいくと, 1つ目は発散します. これは, 例えば √[n(n+1)] ≦ 2n とできる (実際には左辺はほぼ n+1/2) ことから 1/√[n(n+1)] ≧ (1/2)(1/n) となり, 右辺の和は (調和級数の和の半分だから) 発散しますね. で, 3つ目も発散します. これについては (3+n)/(3+n^2) ≧ (3+n)/(3n+n^2) = 1/n でいいかと. 残った 2つ目ですが, これは収束します. 実際, cos nπ = (-1)^n であることに気付けば (n+1+cos nπ)^2 ≧ (n+1-1)^2 = n^2 から 1/(n+1+cos nπ)^2 ≦ 1/n^2 となり, 右辺の和が π^2/6 に収束することでわかります.
その他の回答 (3)
- Tacosan
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あ, 2つ目について #3 では π^2/6 まで追い込んでますが, 単に「収束する」ことを言うだけならもっと簡単に Σ(k=1～n) 1/k^2 ≦ 2-1/n だけでも済みますね (n を∞に飛ばして 2 で抑えられる). この不等式はたぶんそこそこ有名だし, 帰納法を使えば証明できます.
お礼
なるほど！ そこそこ有名…まだまだ修行が足りません。 がんばります。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
こういう問題は, 先に「収束するか発散するか」を予測しておくと簡単. 今の場合は全ての項が正なのは明らかだね. だから, ・「収束する」と思うなら「各項がより大きな級数」で収束するものをもってくる ・「発散する」と思うなら「各項がより小さな級数」で発散するものをもってくる といい. ところで, 調和級数が発散するのはいいよね?
お礼
お礼欄にて失礼します。 慣れていないものですみません。 １問目は発散、３問目は収束だとあたりをつけました。 ２問目について、お願いします！
補足
なるほど！ 調和級数の発散、OKです！
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
みにくい. 文字で書いて.
補足
一問目：Σ^∞_n=1 1/√(n(n+1) 二問目：Σ^∞_n=1 1/(n+1+cos nπ)^2 三問目：Σ^∞_n=1 3+n/(3+n^2) です。画質が悪くごめんなさい。よろしくお願いします。
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