無限級数の収束判定

質問

無限級数は必ず収束判定できるのでしょうか？
特に、絶対収束しないような級数でダランベールの方法や、ベキ級数におけるコーシーの方法では判断つかないようなケースでも必ず何がしかの方法で判定できるのでしょうか？
判定できない例はあるのでしょうか？

回答No.1

ramayana

係数の振舞がよく分かっていない無限級数は、判定できないのではないのでしょうか。例えば、次のような無限級数 S の |z|≦1 における収束性は、現在のところ判定できないと思います。将来、判定できるようになるかもしれませんが。

S = Σ[n = 6 to ∞]a[n]z^n = a[6]z^6 + a[7]z^7 + a[8]z^8 + …

（Σ[ ] の [ ] 内は、 n が動く範囲を表す。a[ ] の [ ] 内は、 添え字を表す。）

ただし、a[n] は、次のように定まる数値です：

6 以上 n 以下のすべての偶数が２つの奇素数の和で表すことができるなら、 a[n] = 1 。そうでないなら、a[n] = 0 。（参考　ゴールドバッハの予想）

お礼

そうきましたか（笑）
ありがとうございます。

補足

少々ズルい気もしますし、数学的に判定できないというのとは違うと思います。どちらかというと物理的に解けないとでもいうべき種類のものなのでは？判定不能であることが示せるわけでもなく、単に今（物理的な意味で）は判定できないということですよね。

いいかえると、”手の内が明かされている”ものであればすべて判定可能ということでしょうか？