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∫[a,2a]y√4a^2-y^2]dy

∫[a,2a]y√4a^2-y^2]dy の導出過程が分からないです。 どのように計算したら良いか教えてくれるとありがたいです。

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  • alice_44
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回答No.3

x = 4a^2 - y^2 と置こうよ。 dx/dy = -2 y になる。 ∫{y = a … 2a} y √(4a^2 - y^2) dy = ∫{y = a … 2a} (-1/2)(dx/dy) √x dy = ∫{x = 3a^2 … 0} (-1/2) √x dx = [ (-1/3) x^(3/2) ]{x = 3a^2 … 0} = (1/3) (3a^2)^(3/2) = (√3) a^3

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その他の回答 (2)

  • info22_
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回答No.2

a>0とします。 y=2at (1/2≦t≦1)とおけば dy=2adt I=∫[a,2a]y√4a^2-y^2]dy =((2a)^3)∫[1/2,1] t√(1-t^2)dt =((2a)^3)(-1/2)∫[1/2,1] (1-t^2)'√(1-t^2)dt =-4(a^3)[(2/3)(1-t^2)^(3/2)] [1/2,1] =4(a^3)(2/3)(3/4)^(3/2) =(8/3)(3/4)(√3/2)a^3 =(√3)a^3

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  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

置換積分を行う。θを使いたいが変換が面倒なのでtを使う。 y=2asin(t)=2asint とおくとdy=2acostdt 積分は I=∫[a,2a]y√4a^2-y^2]dy=8a^3∫[π/6,π/2]sint(cost)^2dt d(-cos^3t/3)/dt=sint(cost)^2より I=8a^3∫[π/6,π/2]d(-cos^3t/3) =8a^3[π/6,π/2](-cos^3t/3) =(√3)a^3

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