実数s>0,t>0で、s^2+t^2=1を満たすとき、

質問

実数s>0,t>0で、s^2+t^2=1を満たすとき、
x^4-2(s+t)x^2+(s-t)^2=0
の解の取り得る範囲を求めよ。

次のように考えました。正しいでしょうか
s+t=kとおくと、2st=k^2-1
また、実数s>0,t>0で、s^2+t^2=1のとき、
1<=k<=√2
与式は　x^4-2kx+2-k^2=0
これより、k^2+2x^2k-x^4-2=0
これが、1<=k<=√2の範囲に解を持つ条件は、
f(k)=k^2+2x^2k-x^4-2とおくと
f(1)<=0かつf(√2)=>0
これより、x^2(x^2-√2)=>0
よって、x=0,x<=-2^(3/4),2^(3/4)<=x
よろしくお願いします。

回答No.2

momordica · ベストアンサー

> また、実数s>0,t>0で、s^2+t^2=1のとき、
> 1<=k<=√2

1＜k≦√2　ですね。

> これより、k^2+2x^2k-x^4-2=0
> これが、1<=k<=√2の範囲に解を持つ条件は、
> f(k)=k^2+2x^2k-x^4-2とおくと
> f(1)<=0かつf(√2)=>0

なぜその条件だといえるのですか？
一般に、2次方程式が実数のある範囲に解をもつ場合、このような場合以外の可能性も
当然考慮しなければなりません。
本問ではそれらの可能性は係数などの条件から排除できるわけですが、なぜ排除できるか
については、やはり理由を示すべきです。
なお、範囲が　1＜k≦√2　なので、満たすべき条件も　f(1)＜0　かつ　f(√2)≧0　です。

> これより、x^2(x^2-√2)=>0

これは　f(√2)≧0　を計算したものだと思いますが、明らかに間違っています。
書き間違いだけではないですよ。
また、f(1)≦0　の方については、検討した痕跡がありませんね。
全ての実数xについて成り立つから省略した、ということなのだとは思いますが、
それならそうと書くべきです。
なお、f(1)≦0　ならすべての実数xについて成り立ちますが、f(1)＜0　では
そうではないので、こちらも再検討してみてください。

全体的に、説明不足だと思います。
好意的に解釈するなら、これはあくまで考え方の触りを書いただけで答案ではない、
と言うつもりなのかもしれませんが。

お礼

いろいろ参考になるご意見ありがとうございます。
もう一度見直したいとおもいます。

回答No.4

juju6onchu

自らの解答の筋道を簡潔に述べていて、非常によろしい。

こんな質問欄に詳しい解答を書けるはずがないので、そこを問題にするのは如何かと思うが、それ以外は２番目の方と大体は同意見です。

かなり再往になるが

★「1<=k<=√2」は 1<k≦√2 のミス。

★「与式は　x^4-2kx+2-k^2=0」で x の「２乗」が抜けているのはご愛敬。

★問題は、

「これが、1<=k<=√2の範囲に解を持つ条件は、
　f(k)=k^2+2x^2k-x^4-2とおくと
　f(1)<=0かつf(√2)=>0」

ここですね。これは論証的に「間違い」です。

（結果的にはそんなに間違いではないが）

●２個解を持つ場合をなぜ考えていないのですか？

●f(1)≧0かつf(√2)≦0 となる可能性をなぜ考えていないのですか？

ここまでは良いですが、ここはキチンとした論証が必要な所です。丁寧な論証・場合分けを心がけましょう。

（どうも場合分けの感覚が甘い様に感じられます。或いは論証の感覚ですね。※蛇足だが、場合分けの感覚とは、「あらゆる可能性を考え尽くさねば」という意志のことです。大事ですよ）

・勿論、確かに f(1) を計算すれば -(x^2-1)^2 なので常に０以下と分かるが、
それを元に条件を求めたのならば、その様に書くべきですね。

・或いは図を描いて軸≦０だから、問題の範囲では（狭義）単調増加と考えたのならば、それを述べるべきです。

折角解き方のアイディアはなかなか良いので、以上を修正して良い解答を作成して下さい。

最後になるが、（Ｎｏ２さんもご指摘の様に最後にも計算ミスがあるが）、それよりも、
f(1)=0 の場合の論理を曖昧にしないように。（少なくとも自分の頭の中では）

以上です。

お礼

丁寧なコメントありがとうございます。
もう一度頭を整理して解答を考えたいと
おもいます。参考になりました。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

考えていることは「想像」できるのですが、
たとえばこれを他の高校生が見たとして理解できるかどうかと言われると・・・

＞また、実数s>0,t>0で、s^2+t^2=1のとき、
＞1<=k<=√2
なぜこのことが言えますか？
グラフを用いましたか？それとも、別の方法を使いましたか？
条件を用いて、どのように導いたかの説明が必要ですね。

あとは、kの 2次方程式として扱うのですよね。
ただし、x^2≧ 0という条件がつきまといそうですね。

＞f(k)=k^2+2x^2k-x^4-2とおくと
＞f(1)<=0かつf(√2)=>0
他の方も指摘されているように、どう考えたのかが必要ですね。
グラフを考えたのであれば、そのこととそのグラフを描いておかなければなりません。

記述式の問題は、「記述」というだけあって「考え方＝（数学的な）論理的思考」を見る試験になります。
計算結果よりも「考え方」を見られいるといっても過言ではないと思います。
解答を見る人のことを想像しながら、その考え方を書き、表現することを意識してください。
つまりは、「他の高校生」が見てもわかる表現にするということです。

お礼

ありがとうございます。
＞グラフを考えたのであれば、そのこととそのグラフを描いておかなければなりません。
最低限このことは必要でした。
＞「考え方」を見られいるといっても過言ではないと思います。
このことが一番大切でした。

回答No.1

mister_moonlight

＞次のように考えました。正しいでしょうか

考え方は間違いではないが、プロセスにミスがある。

＞これが、1<=k<=√2の範囲に解を持つ条件は、

この場合、1≦k≦√2にあるkの実数解が2つでも1つでも良い、つまり“少なくても1個実数解があれば良い”のだが、その点の配慮がない。
この回答では、解が1つの場合のプロセスに過ぎない。
そのように断定できるなら、その理由を示さなければならない。

お礼

ご指摘の通りの不備がいろいろ
ありました。
ありがとうございます。