次にあげる１０個の数について、その中から任意の2つをとって作った差（＞

質問

次にあげる１０個の数について、その中から任意の2つをとって作った差（＞0）の集まりを考える。たとえば、6-1=5,501-121=380 などは、この集まりに含まれる数である。
1,3,6,14,29,60,121,249,501,1003
この集まりの中に、6で割り切れる数はいくつあるか。

剰余をあつかう問題のようなのですが、解法のポイントと、答えの導き方をおしえてください。

悩んでますお願い致します。

回答No.4

nattocurry

問題の意味が解っていないようですね。

「この集まりの中に」の直前に、10個の数が並んでいるから、それらを「この集まり」だと思ってしまっているようですが、それは誤りです。
この10個の数は、問題の最初に書いてある「次にあげる１０個の数」であって、「この集まり」ではありません。

「この集まり」とは、「１０個の数について、その中から任意の2つをとって作った差（＞0）の集まり」です。

つまり、

3-1
6-1
14-1
29-1
60-1
121-1
249-1
501-1
1003-1
6-3
14-3
29-3
60-3
121-3
249-3
501-3
1003-3
14-6
29-6
60-6
121-6
249-6
501-6
1003-6
:
:
:
501-249
1003-249
1003-501

のことです。

任意の2つの数を、6p+r,6q+s,とし、その差を求めると、
6(p-q)+r-s
となります。
これが6で割り切れるかどうかは、6(p-q)は明らかに6で割り切れるので、r-sが6で割り切れるかどうかを調べるだけで良いです。

となると、与えられた10個の数でそのまま差を求めるよりも、10個の数それぞれを、6で割ったときのあまりに変換して、その値で任意の2つの数の差が6で割り切れるかどうかを調べるほうが楽(効率的)だということになります。

回答No.3

sanori

こんにちは。

６で割ったときの余りでグループ分け
0　…　6 ⇒（間隔54）⇒ 60
1　…　1 ⇒（間隔120） ⇒ 121 ⇒（間隔882） ⇒ 1003
2　…　14
3　…　3 ⇒（間隔246） ⇒ 249 ⇒（間隔252） ⇒ 501
4　…　なし
5　…　29

間隔は、54, 120, 882, 120+882, 246, 252, 246+252　の7種類ですが、間隔の大きさが全部異なります。
よって、「集まり」の中でダブりが生じる心配がないので、差が6の倍数になるパターンを単純に考えればよいだけです。

差が６で割り切れるペアは
あまり0の数 - あまり0の数　・・・　2Ｃ2 = 1
あまり1の数 - あまり1の数　・・・　3Ｃ2 = 3
あまり2の数 - あまり2の数　・・・　（なし）
あまり3の数 - あまり3の数　・・・　3Ｃ2 = 3
あまり4の数 - あまり4の数　・・・　（なし）
あまり5の数 - あまり5の数　・・・　（なし）

合計7ペアしかありません。

具体的には、
あまり0の数 - あまり0の数　・・・　60-6
あまり1の数 - あまり1の数　・・・　121-1, 1003-1, 1003-121
あまり3の数 - あまり3の数　・・・　249-3, 501-3, 501-249

回答No.2

B-juggler

う～んと、これは何の問題かな？　数学オリンピックにしては簡単すぎる。
算数オリンピックではなさそうだ、文体がね～。

数検かなぁ？

問題の意味が分からないというのはまずいですが、「1,3,6,14,29,60,121,249,501,1003」

この１０個は　「集まり」の中には入りませんよ。

「集まり」に入るのは（本当では集合といいます）、上の１０個から２つ持ってきて

大きい方から小さい方を引いてできた数字のことですよ。

　＃なので、６０　になるような組み合わせがありませんね？　６０は集合の中には　いませんよ。

剰余　という言葉が使われていますので、数学的な言葉を使っていきますが、

６で割った余りですね、これを考えて行きましょう。

１　ｍｏｄ　６　＝１　（ｍｏｄ　←　割った余りを示します）
３　ｍｏｄ　６　＝３
６　ｍｏｄ　６　＝０
これを１０個全部やります。

例えば、１２１ｍｏｄ６＝１　ですね。　ということは、

６で割った余りが１　になる物を引けば、または物から引けば、６で割った余りは０になりますね

１２１　と　１　を持ってくると、　１２１－１＝１２０　１２０ｍｏｄ６＝０　こんな風に。

他にもたくさんあるかな？　２４９ｍｏｄ６＝３　なので　３と２４９で

２４９－３＝２４６　　２４６ｍｏｄ６＝０　これは６で割れますね。

どれだけ数が大きくなっても構わなくて、６で割った余りが同じものなら、引いてしまえば

余りは０にできますね。　ここに注目して行けば、大きい数字を計算する必要はなくなりますね♪

後は余りが同じになるものを捜していく。

重ならないように組み合わせを丁寧に数えてあげればダイジョウブ。ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

がんばれ～～

回答No.1

nattocurry

１０個の数を、６で割ったときの余りに注目する。

そして、任意の２つを取ったときに、余りが同じなら割り切れる、余りが違うなら割り切れない。

お礼

ありがとうございます。この問題の意味があまり把握できてないのですが、このばあい60はふくまれますか？