逆三角関数

質問

sinθ=3/5 の時、θを関数電卓等を使わずに求めたいんですが、どうすればいいんでしょうか？テイラー展開を使うと聞いたんですが、電卓を使えないので式をできるだけ簡単なものにしたいのです。精度は角度を度数表示で、小数点一桁まで求めたいのですが、よろしくお願いします。

回答No.6

grothendieck

下の回答でArc(3/5)となっているところはArcsin(3/5)に訂正して下さい（またしても訂正するはめに）

回答No.5

graphaffine

求めたいと言うのは自分で計算したいということですか。
もし、値を調べたいという事でしたら数表を見ればわか
ります。
私の持ってるのは0.05ラジアン単位でしか載っていませんので誤差が大きいかもしれませんが参考まで。
sinΘが0.59847のときΘ=2.5ラジアン＝36度45分38秒

因みに岩波数学時点　第2版で調べました。

お礼

電卓持込不可のテストにでてくるんです。でも皆さんの回答を見てみると四則計算だけでも大変そうですね。

回答No.4

grothendieck

すでにNo.609419でsiegmund先生と私が回答していますが，Arcsin(y)を展開する方が直接的です。Pade近似
　(y -17/60 y^3)/(1 - 9/20 y^2)
を使うと
　Arc(3/5) ≒ 36.84 (degree)
となりました。

お礼

質問が重複してすみませんでした。No.609419の方では質問の仕方が回りくどいと思いましたので。

回答No.3

adinat

♯2さんの方法で計算してみました。コンピュータで度数法で小数点以下第3位を四捨五入して正確な値は
36.87°
他方近似計算した方では
36.93°
になりました。このテーラー展開による誤差計算を正確に評価しないと何とも言えませんが、結局3次までの近似では誤差が0.05°よりも大きくなってしまっているので、小数点以下一桁まで求めるためにはやはり5次まで近似を使うべきです。この場合はいずれにせよ、36.9°でよいと思いますが。ちなみに3次方程式や5次方程式を普通の電卓のみで解くのであれば、ニュートン法などの近似法を使う以外に道は険しいと思います。いずれにせよあまり容易な問題ではないと思いますね。

お礼

わざわざ計算して頂いて、ありがとうございました。

回答No.2

fushigichan

kurazou33さん、こんばんは。

テイラー展開

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!+・・・+{(-1)^(n-1)/(2n-1)!}x^(2n-1)+R[2n+1](x)

ただし、R[2n+1](x)=(-1)^ncos(θx)x^(2n+1)/(2n+1)!
0≦θ≦1
となっています。

なので、sinx≒xだと簡単すぎるので、
sinx≒x-x^3/3!
のように近似するとします。

sinx=3/5
が分かっているので、
3/5=x-x^3/6
両辺３０倍して、
18=30x-5x^3
5x^3-30x+18=0
となりましたが、ここから因数分解するのは難しそうです・・・
これでご参考になればいいのですが。

参考URL：

http://amath.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2002.calculus-I/html.dir/node53.html

お礼

回答ありがとうございました。でも、やはり難しそうですね。

回答No.1

gukky

関数f(x)のテイラー展開は
f(x)をxでn回微分したものをf'n(x)とすると
Σ（f'n(0)/n!*x^n)
と表せます。
今回の場合、
sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^9/(9!).....
となります。
尚、テイラー展開とはx=0の近傍で関数を級数で近似するものですから、x=0から離れると近似誤差が大きくなります。
例えば3次までで考えても、x-x^3/(3!)=3/5となるxを求めるということですので、3次式の解を求める必要があり、手計算で求めるのは難しいかもしれません。

お礼

回答ありがとうございました。３次式、５次式までいくとさすがに手計算で求めるのは難しいですね。