積分について質問です！！

質問

積分について質問です！！
∬(√9-x^2-y^2)dxdy という問題で（9-x^2-y^2は全部ルートの中に入っています。)
D={(x,y)| x^2+y^2=9}という条件で
解くと

D'={(r,θ) | 0<=r<=3, 0<=θ<=2π}
となり
∫0→2π {∫0→3 (√9-r^2)・r dr} dθ　（9-r^2はすべてルートの中に入っています。)
となるのはわかるのですが
√9-r^2)・rの部分はrで積分するとどうなるのでしょうか。どうも解答が一致せず間違いがあるとするとおそらく
そこの部分なので質問しました。どのように解法すれば良いのでしょうか。教えて下さい。

^は乗数の意味です。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>D={(x,y)| x^2+y^2=9}という条件で
問題のミス。
正：D={(x,y)| x^2+y^2≦9}という条件で

>(√9-r^2)・rの部分はrで積分するとどうなるのでしょうか。
>どうも解答が一致せず間違いがあるとする
あなたの解答を書いて頂かないと間違いがチェックできません？
補足にあなたの解答を書いて下さい。

このタイプの積分は簡単じゃないですか？
∫r√(9-r^2)dr=-(1/2)(2/3)(9-r^2)^(3/2) +C
=-(1/3)√{(9-r^2)^3} +C

∫0→2π {∫0→3 (√9-r^2)・r dr} dθ=2π(1/3)*27=18π

答えは、半径3の球の上半分の体積の積分なので
I=(1/2)(4/3)π*3^3=18π
ですね。

補足

書くべきでしたね＞＜すいません。
親切にありがとうございます。
ちなみにミスはうっかり記憶ちがいをしていて1/aつまり1/2を付け忘れていました。
ありがとうございます＞＜