論理学の問題

質問

ある数学の本を読んでいたら、論理学の分野で、どうしても解らない問題に遭遇しました。
どなたか詳しい方、素人の私に解り易い回答お願いします。

【質問】
なぜ、

A：すべての生徒は優等生である
B:　すべての生徒は優等生でない

はA,B共に「偽」であっても成り立つ事があり、

C:すべての生徒は優等生である
D:ある生徒は優等生ではない

はC,D共に「偽」では成り立たないのでしょうか？

回答よろしくお願いします！

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

fpieさん、こんにちは。
言葉というのは、とても難しいですね！

＞A：すべての生徒は優等生である

これは、全員、優等生だ、という文章ですから、
これの否定￢Aとは、「全員、優等生である、ということはない」
つまり「誰か、優等生でない人がいる」
「ある生徒は優等生ではない」という意味ですね。

＞B:　すべての生徒は優等生でない

これは、全員優等生じゃないんだ、という意味ですから
これの否定￢Bとは「全員優等生じゃない、ということはない」
つまり「ある生徒は、優等生だ」という意味です。

ですから、
￢A「ある生徒は優等生ではない」
￢B[ある生徒は優等生である」
これは、色々な生徒がごちゃまぜになっている現状では、ありうることですね。
優等生でも、そうでない生徒もいますから、真といえるでしょう。

一方、
＞C:すべての生徒は優等生である

これは、「全員優等生だ」と言っていますから、この逆は
￢C「全員優等生、ということはない」つまり
「ある生徒は、優等生ではない」これは、￢Aと一緒です。

＞D:ある生徒は優等生ではない

この逆は
￢D「ある生徒は優等生ではない、ではない」ですから
「優等生ではないある生徒がいない」ということ
つまり「全員優等生」ということになっちゃいますね。

￢Cと￢Dは同時には成り立たないということになります。

（これは、￢CそのものがDになっていますから、
同時に成り立たない、ということは直感的に分かると思います）

論理的に考えるのは難しいですが、これをクリアすると
どんな口論にも負けない気がしますね（笑）
頑張ってください。

お礼

回答有難うございます。
バッチシ解りました！
日本語ってむずかしいですねー

回答No.5

yuusukekyouju

説明を簡単にするために優等生でない生徒を劣等生とします。普通の生徒も優等生でないということで劣等生と考えて下さい。
ここで劣等生という言葉を使ってCをいいかえると
C:劣等生がいない
またDをいいかえると
D:ある生徒は劣等生つまり劣等生がいるとなる
それぞれの偽は
Cの偽　劣等生がいる
Dの偽　劣等生がいない
となる
CとDはお互いに矛盾しているのはあきらか。

お礼

回答有難うございました。
Ａ：劣等性がいない→（偽）劣等性がいる
Ｂ：優等生がいない→（偽）優等生がいる
劣等性も優等生も一緒にいる状況だから（真）なのですね。

回答No.4

i536

すでに回答がありますので、本文は蛇足と思って下さい。

>ポイントは
>「すべての」の偽が「ある」で、
>「ある」の偽が「すべての」というところでしょうか？

そうです。
それと排中律、矛盾律が常に真であることを
知っておくことでしょうか。

ことばは同じ内容に関して複数の表現方法があり混乱し
推論に向かないので、下記方法（記号論理）をお薦めします。
まず、文を全称記号∀、存在記号∃等を用いた論理式に変換します。
それから、変換した論理式でそのまま推論して結論を出し、
最後にその結論を言葉に翻訳するという方法です。
これだとことばに惑わされないで混乱なく正確に推論できます。

∀xＰ(x)---1
1の否定は、∃x( non Ｐ(x))---2

∃xＰ(x)---3
3の否定は、∀x( non Ｐ(x))---4

上記論理式中の∀・∃・nonを日本語に翻訳すると、
１は、"すべてのｘがＰである"、"任意のｘについてＰである"、"どのｘについてもＰである"、
２は、"すくなくとも１つＰでないものが存在する"、"あるｘが存在してＰでない"、
３は、"すくなくとも１つＰであるものが存在する"、"あるｘがＰである"、
４は、"すべてのｘがＰでない"、"任意のｘについてＰでない"、"どのｘについてもＰでない"
などとなります。

記号を用いた論理式のままでの推論は、
慣れると、加減乗除の計算と同様に簡単です。

お礼

なるほど、論理記号を用いた演算の方が、確かに混乱なくできますね！
もう少し勉強してみます。
回答有難うございました。

回答No.2

noname#24477

ＣとＤの関係は
Ｃの否定がＤです。

だからどちらかが偽でどちらかが真です。
（「すべての」を否定すると「ある～は～でない」と形式的に覚えておくと便利です）

ＡとＢは
Ｂは　　すべての生徒は「優等生でない」
ですよね。Ａの否定では有りません。（日本語は難しい）
だから優等生もいれば優等生でない生徒もいるという状況なら
ＡもＢも偽であるということになります。

お礼

再質問になってしまうのですが、宜しかったら回答の方宜しくお願いします。

数学の専門家であるojamanboさんからみて、数学の初心者（微分積分の入門勉強中レベル）が勉強するうえで、何かアドバイスやコツみたいなのはあるんでしょうか？

回答No.1

taormina

「Ａでない」は「ある生徒は優等生でない」
「Ｂでない」は「ある生徒は優等生である」だから，
「Ａでない」＆「Ｂでない」は「ある生徒は優等生で，ある生徒は優等生でない」なので同時に成り立ちます。

「Ｃでない」は「ある生徒は優等生でない」
「Ｄでない」は「すべての生徒は優等生である」なので，同時に成り立ちません。

うーーん，わかりにくいかな？

お礼

追加で質問させていただきます。
宜しかったら今一度回答のほう宜しくお願いします。

＞「Ａでない」＆「Ｂでない」は「ある生徒は優等生　で，ある生徒は優等生でない」なので同時に成り立ちます。

「Ａでない」は「ある生徒は優等生でない」なので、「その他の生徒は優秀である」これは「Ｂでない」の「ある生徒は優等生である」と同じだからＡとＢが偽でも成り立つと理解してもいいのでしょうか？

ポイントは
「すべての」の偽が「ある」で、
「ある」の偽が「すべての」というところでしょうか？
これは、「特称命題」の偽が「全称命題」という事ですか？