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同値なノルムについて教えてください><
Anti-Giantsの回答
- Anti-Giants
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>>「同値ならバナッハ空間の構造も同じ」と参考書に書いてあり、それならば||・||2においても完備なのは当たり前じゃないかと思ってしまうのですが・・・ その当たり前のことを問いかけているのではないでしょうか。 「同値ならバナッハ空間の構造も同じ」ことを証明すればいいのでは。 つまり、norm1の定める位相と、norm2の定める位相が等しいことを示す。 証明の概略。 a×norm2≦norm1≦b×norm2. norm1の定める開集合A. B1(x,r)はnorm1による中心x半径rの開球。 B2(x,r)はnorm2による中心x半径rの開球。 B1(x,r)={y:norm1{x,y}<r}⊃{y:a×norm2{x,y}<r}=B2(x,r/a). A=∪{B1(x,r(x)):x in A}⊃∪{B2(x,r(x)/a):x in A}⊃A. よってA=∪{B2(x,r(x)/a):x in A}より norm1の定める開集合は、norm2の定める開集合でもある。 逆は同様の方法で示せる。
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