微分に関する議論

質問

微分に関する議論

ニュートン法に関する疑問です。
aがf(x)=0の根に十分近ければ、a=f(a)/f’(a)は更によい近似値であるということについて、友人と議論していたんですが、これを確かめるためにはどうすればよいでしょうか？
厳密でなくてもかまいません。
ちなみにa+hが根であれば、f(a+h)=0≒f(a)+hf’(a)は使用しても構いません。

数学が得意な方にお力を貸していただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

解が x = a+h で、h が十分小さければ、
0 = f(a) + (x - a) f'(a) + o(h) ですから、
x = a - { f(a) + o(h) } / f'(a) です。

これを x ≒ a - f(a) / f'(a) と近似した場合の
誤差 - o(h) / f'(a) は、f'(a) が 0 でなければ、
lim[h→0] { - o(h) / f'(a) } / h = 0 である
という意味で、h よりずっと小さいと言えます。

お礼

大変分かりやすい解答をありがとうございます。
参考にさせていただきます！

回答No.1

Anti-Giants

f(x)=root{2}とすると、f(a)/f'(a)=2a>a.
離れてしまいます。

お礼

ご解答ありがとうございます！
参考にさせていただきます。