「たすきがけ」は、それをすると自動的に因数分解が出来るというものではありません。
それでうまくいくかどうかを見やすくしているだけで、やっていることはむしろ展開です。
このように因数分解されるのではないか？というものを想定して、それを展開して元の式（問題で与えられた式）になるかどうかを見ているだけです。
私自身は全然見やすいとは思えないので「たすきがけ」を書きません。
2次式の因数分解の問題を解く上で大事なのは、ax^2 + bx + cが因数分解して(px + q)(rx + s)となるなら、
これを展開したprx^2 + (ps + qr)x + qsともとのax^2 + bx + cが恒等式（xの値にかかわらず成り立つ式）であるということです。
従って、pr=a、ps + qr=b、qs=cが成り立ちますから、p、q、r、sがそれぞれ整数であるならp、rはaの約数であり、q、sはcの約数であるはずです。
例えば、x^2 + x -6が係数や定数項が整数で因数分解できるとすると、
pr=1ですから、「p=1、r=1」で、
qs=-6ですから、「q=1、s=-6」、「q=2、s=-3」、「q=3、s=-2」、「q=6、s=-1」、「q=-1、s=6」、「q=-2、s=3」、「q=-3、s=2」、「q=-6、s=1」のいずれか
ということになります。この問題の場合、p=rなのでqとsは入れ替えて同じ組み合わせは同じことになるので「q=-1、s=6」、「q=-2、s=3」、「q=-3、s=2」、「q=-6、s=1」は候補から外すことが出来ます。
この中から、ps+qr=1となるものを探すことになり、「q=3、s=-2」を見つけ出し(x+3)(x-2)とします。これを見つけるのが因数分解の問題だということになりますが、ここは総当たりのようなもので最初に書いたように自動的には求まりません。ただし、明らかに可能性のないものはすぐに候補から外すことが出来ますし、慣れてくれば即決できるくらいになります。
※「p=-1、r=-1」も候補として出てきますが、その場合(-x-3)(-x+2)となり、両項から-1をくくると消えますので同じことになります。慣例なのか、因数分解したときには最高次数の係数は正とするので「p=-1、r=-1」は候補から外します。
-x^2 - x + 6を因数分解する場合は、-(x^2 + x -6)として括弧内を上述のように因数分解して-(x+3)(x-2)とします。
説明が長ったらしくなりましたが、中段で書いた、
> ここは総当たりのようなもので最初に書いたように自動的には求まりません
> ただし、明らかに可能性のないものはすぐに候補から外すことが出来ますし、
> 慣れてくれば即決できるくらいになります。
が2次式の因数分解の問題のキモだと思います。くどくなりますが、たすきがけは確認のための手段でしかなく、因数分解の問題を解く上での要点ではないと思います。
