※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：二次形式の標準化を利用した対角化について）
二次形式の標準化を利用した対角化について
このQ&Aのポイント
二次形式の標準化を利用した対角化についての理解が不十分です。ご教授願います。
問題の行列を二次式にして平方完成し、対角行列にする方法も考えられます。
直交行列を用いて対角化する方法もありますが、根本的に何か間違いがあるようです。
二次形式の標準化を利用した対角化について
理解が不十分なところがあります、ご教授願います。
(3 3 1)
(3 9 -1)
(1 -1 1)の実対称行列を対角化します。
この固有値は0と(13±√(57))/2となります。しかし、これでは固有ベクトルが求め難く、合理的な解法では無い気がします。
そもそも二次形式の標準形は行列で表したときに対角行列になるのだから、問題の行列を二次式にして、平方完成すれば良いのではと思います。
でx1,x2,x3を用いて、二次式にすると3x1^2+9x2^2+x3^2+6x1x2+2x1x3-2x2x3になります。
ラグランジェ法を参考に平方完成すれば、
=(x1-x2+x3)^2+2x1^2+8x2^2+8x1x2
=(x1-x2+x3)^2+2(x1^2+4x2^2+4x1x2)
=1*(x1-x2+x3)^2+2*(x1+2x2)^2
以上より、
(1 -1 1)
(1 2 0)
(0 0 0)の直交行列によって
(1 0 0)
(0 2 0)
(0 0 0)に対角化できる。
というのはどうでしょうか？
テキストの模範解答は直交行列を示さずに
1行目((13-√(57))/2 0 0)
2行目(0 (13+√(57))/2 0)
3行目(0 0 0)
となっています。
やっぱり、私はどこか根本的に間違えているのでしょうか？
お礼
固有値が奇麗な数であれば固有ベクトルから行列を作って対角化するのですが、固有値がややこしい数字なので、平方完成を考えました。 ともあれ、月末に代数学IIの試験ですので頑張ります。